Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Посмотреть оригинал

Определение усилий в стержнях ферм

Расчет ферм состоит в определении продольных усилий в стержнях, а также перемещений отдельных узлов.

Настоящий параграф посвящен определению усилий в стержнях ферм. Для нахождения внутренних усилий мысленно разрезают ферму на две части и рассматривают условия равновесия одной из частей, к которой прикладывают внешние силы и пока неизвестные усилия в разрезанных стержнях. В отдельных случаях усилия определяются путем вырезания узлов. Так как величины внутренних усилий неизвестны не только по величине, но и по знаку, то предполагаем их положительными и направляем в сторону от узла. В конце расчета выяснится истинное направление внутренних усилий. Знак «плюс» означает, что выбранное направление будет правильным, поэтому стержень растянут. В противном случае, когда усилие окажется отрицательным, стержень сжат.

Поэтому при расчете ферм различают способ вырезания узлов и способ сквозных сечений. Последний подразделяют на способ моментной точки и способ проекций в зависимости от того, какое из уравнений равновесия удается составить.

Пусть потребуется определить усилия в элементах фермы, изображенной на рис. 3.8, а. Отбросим мысленно опорные связи и заменим их действие опорными реакциями.

Из уравнения равновесия TjX = -НА + Р2 = 0 найдем горизонтальную опорную реакцию Нл.

Рис. 3.8

Вертикальные опорные реакции Кл и RB определим из уравнений

после чего найдем усилия в стержнях фермы. Сначала применим способ вырезания узлов. Найдем усилие NA. Вырежем узел А (рис. 3.8, б) и составим для него уравнение равновесия

откуда NM = -R,i/sin а.

Для определения усилия NM составим сумму проекций сил на горизонтальную ось

Из этого уравнения найдем

Таким образом, оказалось, что наклонный стержень Ах верхнего пояса сжат, а горизонтальный стержень Лб нижнего пояса растянут.

Теперь определим усилия N{1 и N12. Проведем сквозное сечение I—I (см. рис. 3.8, а) так, чтобы оно пересекало не более трех стержней. Отбросим одну часть фермы, например правую, и заменим ее действие неизвестными усилиями JV12, iV|7 и Ng7 (рис. 3.8, в), предполагая их растягивающими. Для определения одного из неизвестных усилий составим уравнение равновесия так, чтобы в него не вошли два других усилия. Для этого найдем точку пересечения направлений этих двух стержней и примем ее за моментную точку.

При определении усилия jV17 моментной точкой служит точка k.

откуда N{1 = [RAa - Р6 + d)/rx.

Для определения усилия iV12 составим сумму моментов относительно точки &2 и приравняем ее нулю:

Следовательно, ЛГ12 = d(-2RA + Рб)/г2.

Подобным образом можно найти и усилие в стержне 6—7, попадающем в сечение I—I. Здесь моментной точкой будет узел 1.

Для нахождения усилия ЛГ37 в раскосе 3—7 проведем сквозное сечение II—II и отбросим правую часть фермы (рис. 3.8, г). Два других стержня 2—3 и 7—8 в данном случае параллельны.

Составим уравнение проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на ось, перпендикулярную параллельным стержням, в данном случае на вертикальную ось:

из которого получим iV37 = ~(Ra - P6)/sin р.

Как видим, раскос испытывает усилие сжатия.

Найдем усилие в стойке. Любое сквозное сечение, проведенное через стойку 3—8, пересечет более трех стержней, и трех уравнений статики будет недостаточно для того, чтобы определить усилия во всех стержнях. Снова применим способ вырезания узла. Вырежем мысленно узел 8 и действие отброшенных связей заменим силами (рис. 3.8, д). Проецируя все силы на вертикаль, получим

откуда N38 = Ps. Заметим, что если в узле 8 внешняя нагрузка отсутствует, то усилие будет равно нулю.

Найдем теперь усилие N27. Как и в предыдущем случае, любое сквозное сечение, проведенное через стержень 2—7, будет пересекать более трех стержней (а именно, четыре стержня). Усилия в двух из этих четырех стержней уже известны. В этом случае можно применить способ вырезания узлов. Рассматривая условия равновесия мысленно вырезанного узла 7, получим

откуда найдем N27, поскольку Лг17 и N:il определены ранее.

Выше указывалось, что сечение не должно пересекать более трех стержней. Возможно, что среди стержней, пересекаемых сечением, окажутся стержни, усилия в которых уже известны. Тогда сечение можно провести более чем через три стержня. Так, например, проведя сечение III—III (см. рис. 3.8, а), составим уравнение проекций ХК = 0, из которого найдем усилие в стойке N27, поскольку усилие М]7 уже известно.

Используя рассмотренные способы, можно найти усилия в стержнях любой геометрически неизменяемой фермы.

Приступая к расчету фермы, следует выяснить, нет ли в ней «нулевых», т.е. неработающих стержней, усилия в которых равны нулю. Это упростит дальнейший расчет.

Установим признаки нулевых стержней. Рассмотрим для этого частные случаи равновесия узлов.

Если в узле сходятся два стержня и нагрузка действует вдоль одного из них (рис. 3.9, а), то другой стержень не работает, т.е. N2 = 0. Это утверждение вытекает из уравнения для суммы проекций всех сил на ось, перпендикулярную направлению нагрузки.

Рис. 3.9

Если в незагруженном узле сходятся два стержня (рис. 3.9, б), то усилия в стержнях равны нулю: = N2 = О, что легко установить, проецируя силы Л/) и М2 на оси, перпендикулярные направлениям стержней.

Если в узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой (рис. 3.9, в), и нагрузка отсутствует, то усилие в стержне, примыкающем к двум другим, равно нулю: JV3 = 0. Проецируя силы, действующие в стержнях, на ось, перпендикулярную направлению стержней с усилиями JVj и N2, получим доказательство высказанного утверждения.

Применяя признаки нулевых стержней к ферме, показанной на рис. 3.10, а, найдем, что перечеркнутые стержни являются нулевыми. В этом легко убедиться, если начать с вырезания узла 4. Согласно установленному правилу (см. рис. 3.9, в) находим, что усилие в стойке 4—5 равно нулю. Выбросив мысленно эту стойку, перейдем к узлу 5. Легко убедиться, что стержень 5—3 также не работает. Далее из вырезания узлов 6 и 1 аналогично находим нулевые стержни. Вырезав узел 9, найдем, что стержень 9—7 не работает. В данном случае при действии одной сосредоточенной силы нулевые стержни можно устранить, и усилия в полученной ферме (рис. 3.10, б) будут такими же, как в исходной ферме. В ферме на рис. 3.10, б поставлен стержень 9—7 (показан пунктиром), так как без него стержень 8—9 будет неустойчив.

Рис. 3.10

Пример. Определить усилия в стержнях фермы, показанной на рис. 3.11. Размеры и нагрузки приведены на рисунке.

Опорные реакции: Ял = RB = 3/2 = 1,5 кН.

Уравнения равновесия узла Л дают

Проведя сечение I—I, найдем = А'14 • 2,5 + 1-2 = 0, откуда Nu = -0,8 кН.

Проведя сечение И—II, найдем Хм,* = Nyi • 1,875 + 1,5 • 3,125 - - 1 • 1,125 = 0, откуда Л/12= -1,9 кН; 2>л = -ЛГ24-3 +1-2 = 0, следовательно, N24 = 0,67 кН.

Рис. 3.11

Далее, 2 = -Л/45 *3-ь 1,5-4 — 1-2 = 0, поэтому N4 5 = 1,33 кН.

Усилия в стержнях правой половины фермы можно получить из условий симметрии.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы