Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Посмотреть оригинал

Применение метода перемещений к расчету шарнирно-стержневой системы

В предыдущих параграфах метод перемещений применялся для расчета рамных систем, когда учитывались деформации стержней только от изгиба. При расчете шарнирно-стержневых систем, в элементах которых изгибающие моменты и поперечные силы равны нулю, учитываются деформации только от продольных сил. Рассмотрим, например, систему, изображенную на рис. 9.23, а. При действии силы Р в верхнем узле все стержни будут испытывать только осевые усилия. К расчету этой системы также можно применить метод перемещений. Поскольку система не содержит жестких узлов, то в основной системе к узлу необходимо присоединить две линейные связи (рис. 9.23, б), которые обеспечат недефор- мировапность всех элементов. В качестве лишних неизвестных будем иметь два перемещения узла Z, и Z*. Так же как при расчете рамных систем, вначале необходимо изучить поведение одного стержня при единичных смещениях Z7 = 1 и Zfc = 1 (рис. 9.24, а) и найти реакции в линейных связях.

На рис. 9.24, а и в показаны два состояния стержня. В нервом состоянии дано единичное перемещение (Z, = 1) по горизонтали, а смещение по направлению Z* равно нулю. Во втором состоянии показано единичное перемещение верхнего узла только по вертикали (Z* =1).

Рассмотрим подробно первое состояние. Для того чтобы получить формулу для стержня, произвольно ориентированного на плоскости, его положение условимся определять уг-

Рис. 923

Рис. 9.24

лом а между положительным направлением перемещения Z, и осью стержня. Необходимо определить силу, при которой перемещение будет равно Z, = 1, а также реакцию г^, возникающую в вертикальном направлении. Найдем удлинение стержня S = l sin(a - 90°); по закону Гука AS = = NiS/(EF). Приравняв полученные выражения, найдем

Из равновесия верхнего узла (рис. 9.24, б) имеем

Если эти выводы повторить для состояния, изображенного на рис. 9.24, в, получим

(9.14)

Матрица реакций для одного стержня будет

Во избежание ошибок необходимо уточнить методику отсчета углов а и р. Угол а определяется путем вращения по ходу часовой стрелки вектора Z, = 1 до совпадения с осью стержня, а угол р — путем вращения вектора = 1 также до

Рис. 9.25

совпадения со стержнем, но уже против хода часовой стрелки. При этом Zj и направлены соответственно вправо и вверх.

Рассмотрим пример расчета системы, изображенной на рис. 9.25, а. Длины стержней будем выражать через размер d. Жесткости всех стержней одинаковы и равны EF.

На рис. 9.25, б показана основная система с двумя линейными связями, а на рис. 9.25, в и г изображены два состояния системы при смещении узла соответственно на Z, = 1 и Z* = 1. Вычисления сведены в табл. 9.4.

Матрицы реакций для стержней 1^-5 будут

Каждая из этих матриц является особенной (определитель равен нулю). Однако в сумме они дадут неособенную матрицу. Объясняется это тем, что одиночный стержень без введенных связей Z, и Z* существовать не может, так как представляет собой изменяемую систему. Минимальное число стержней, составляющих неизменяемый треугольник, равно двум. Если

Таблица 9.4

Фактор

Номер стержня

1

2

3

4

5

5

d

d42

d

di2

а°

45

90

135

180

225

sin а

1/V2

1

1/V2

0

-1/V2

cos а

1/V2

0

-1/V2

-1

-1/V2

sin а cos а

0,5

0

-0,5

0

0,5

cos2a

0,5

0

0,5

1

0,5

Р°

225

180

135

90

45

sinP

-1/V2

0

1/V2

1

1/V2

cosp

-1/V2

-1

-1/V2

0

1/V2

sin р cos р

0,5

0

-0,5

0

0,5

cos2p

0,5

1

0,5

0

0,5

EF/S

ЕЕ/иШ)

EF/d

EF/(d-yi)

EF/d

EF/(d-yi)

Nj = -(EF/S) cos a

-0,5EF/d

0

0,5 EF/d

EF/d

0,5 EF/d

Nk = -(EF/S) cosp

0,5 EF/d

EF/d

0,5 EF/d

0

0,5 EF/d

две из приведенных матриц сложить, получим неособенную матрицу. Исключение составляет сумма двух матриц Ii и R5, которая дает особенную матрицу. Объясняется эго тем, что система из стержней 1 и 5 представляет собой изменяемую систему, так как стержни расположены на одной прямой.

Общая матрица реакций равна сумме пяти приведенных выше матриц:

Вектор реакций от внешней силы

Канонические уравнения в матричной форме будут иметь вид

Обратная матрица

Вектор перемещений будет

Таким образом, перемещения узла k по горизонтали и по вертикали соответственно будут Z, = -0,476Pd/(EF) =

= -0,32 APd/(EF).

Обратим внимание на некоторые детали: 1) значения перемещений оказались отрицательными, что легко объяснить. При выборе основной системы мы предполагали, что перемещения в узлах будут происходить вправо и вверх, но от силы, приложенной, как показано на рис. 9.25, а, узел k в действительности будет перемещаться влево и вниз; 2) расчет показал, что по абсолютному значению  > |Z*|, ибо горизонтальная проекция силы Р больше вертикальной.

Такой анализ желательно проводить при решении любой задачи. _ _

Умножив усилия Nj и N/{ соответственно на Z, и Z* и сложив их, получим окончательный ответ. Результаты вычислений приведены в табл. 9.5.

Таблица 9.5

Номер

стержня

М

N,Z,

NA

NP = NjZj + NkZk

1

-0,5 EF/d

0,5 EF/d

0,238P

-0,162P

0,076P

2

0

EF/d

0

-0,324P

-0.324P

3

0,5 EF/d

0,5 EF/d

-0,238P

-0,162P

-0.400P

4

EF/d

0

-0,476P

0

-0.476P

5

0,5 EF/d

-0,5 EF/d

-0.238P

0,162P

-0.076P

На рис. 9.26, а у каждого стержня выписаны полученные усилия. Для проверки решения вырежем узел k и приложим к нему усилия в стержнях и силу Р (рис. 9.26, б).

Суммы проекций всех сил на направления U и V запишутся в виде

Проверка точно сошлась.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы