Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Посмотреть оригинал

Определение длины гибкой нити

Найдем длину гибкой нити, исходя из предположения, что она очерчена по квадратной параболе и является нерастяжимой при действии нагрузки. Определение длины L{) не- расгяжимой нити может потребоваться, например, в том случае, когда необходимо заготовить трос, из которого будет сделана гибкая нить с пролетом / и стрелой /. Исходя из равенства ds = (dxj2 + (dy)2 получим

Для нити с опорами в разных уровнях (см. рис. 12.3)

4/ , 8/

где а = -j + xtgy; b = -р.

Глава 12. Расчет гибкой нити

268

Для пологой нити справедливо равенство

Интегрируя, получим

Подставив значения а и Ь, получим

где

Численный метод определения перемещений точек гибкой нити

В зависимости от целей расчета можно выделить два типа задач по статическому равновесию гибкой нити. Одна из задач состоит в отыскании равновесия нити при действии заданной нагрузки, которую должна воспринять нить, а вторая предусматривает определение перемещений отдельных точек при изменении действующей нагрузки. Имеется в виду, что нить загружена некоторой постоянной нагрузкой g от собственного веса и веса некоторых конструктивных элементов и подвергается дополнительному загружению временной нагрузкой q. В данном параграфе будем решать вторую задачу об изменении очертания нити, вызванном временной нагрузкой q.

Постоянную нагрузку g примем равномерно распределенной по всей длине нити. Пологая нить при такой нагрузке будет очерчена но квадратной параболе с уравнением (12.5).

Предполагаем, что при первоначальном загружении постоянной нагрузкой учтено упругое удлинение нити от нагрузки g и с учетом этого удлинения получена стрела провисания /. После того как произойдут упругие деформации, нить получит параболическое очертание.

После дополнительного загружения временной нагрузкой q очертание нити и значения продольных сил в ее элементах изменятся. Это повлечет за собой дополнительное упругое удлинение нити. Узловые точки нити переместятся как по вертикали, так и по горизонтали. Горизонтальными перемещениями можно пренебречь, поэтому задача будет состоять в определении вертикальных перемещений ряда точек, которые запишем в виде вектора

Допустим, что на нить с опорами, расположенными в одном уровне, нагрузка передается в п узловых точках, расположенных на одинаковых расстояниях по горизонтали, равных d (рис. 12.4, а). Постоянную и временную нагрузки будем считать сосредоточенными в узлах, поэтому между узловыми точками нить очерчена прямыми линиями. Сосредоточенная сила в узле k равна

где Vgk — узловая сила от постоянной нагрузки; Уф — то же, от временной нагрузки.

На рис. 12.4, а сплошными линиями показано очертание нити под действием постоянной нагрузки, а пунктиром — после дополнительных перемещений от временной нагрузки.

Длины участков 5lt S2, ..., 5„+1 после деформации будут S + Д5), S2 + AS,..., Sn+] + Д5„+1. Усилия в соответствующих элементах обозначим Nu N2, ..., ЛГ„+1. Индексы у участков S и у усилий N будут совпадать с номером узла, расположенного справа.

На рис. 12.4, б показан k-W узел, вырезанный из системы после деформации. Горизонтальные проекции усилий M/t и Nk+i равны распору Я.

Из равновесия узла находим

где

Здесь II — суммарный распор в нити от постоянной и временной narpj/зок; гц — вертикальное перемещение узла k нити; (р?ев и ф^р — углы наклона элементов нити к горизонту слева и справа от узла k.

Подставив значения для тангенсов углов в формулу для Vk, получим

Если величине k давать значения 1, 2,п, получим систему уравнений, которую запишем в матричной форме

где векторы

Матрица L2 имеет вид

Решая уравнение (12.17) относительно rj, получим

В уравнении (12.20) содержится два неизвестных: rj и распор Н. Следовательно, необходимо составить еще одно дополнительное уравнение. Для этой цели используем принцип Лагранжа, по которому виртуальная работа внешних и внутренних сил нити от постоянной нагрузки на перемещениях от временной нагрузки равна нулю:

где U — работа внутренних сил JVg (от постоянной нагрузки) на

П

удлинениях элементов Sот временной нагрузки; ? —

А-1

работа внешних (постоянных) сил на перемещениях р от временной нагрузки.

Итак,

где

Здесь Е' — модуль упругости нити (кабеля); /у, — площадь сечения нити; N'ф и N^— продольные силы в элементе кабеля к от постоянной и временной нагрузок; Hg и Hqраспоры от двух указанных нагрузок.

Подставляя в равенство (12.22) выражения (12.23) и обозначая через Го площадь сечения нити в середине пролета, получим

Обозначим

Если положим /у, = /;о = const и сумму заменим интегралом, то

Если /у, = Fq/cos ср/,, то

Далее произведем замену Hq = НHg и V = Vg + Vq, тогда вместо уравнений (12.20) и (12.21) получим

Уравнения (12.28) можно записать в более удобной форме. Для этого на основании равенства (12.5), приняв р = О и Я = IL, запишем: Vg = HgL2y. Подставляя это выражение в уравнения (12.28), а также обозначив

после несложных преобразований получим

Далее, учитывая, что Vg = gd = const, вместо выражения (12.31) получим

П

Но Цг|? = (Oifj, где матрица-строка coj = (1 1...1). Учиты-

*-1

вая выражение (12.30), получаем

Приравняв теперь правые части уравнений (12.32) и (12.33), после некоторых преобразований получим квадратное уравнение для определения

где

Величину Ls можно выразить через пролет /:

где р для нити с постоянным сечением на основании выражения (12.26) будет равно

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы