Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Посмотреть оригинал

Основные уравнения плоской задачи теории упругости

Вырежем из пластины малый элемент со сторонами сЬс и dy (рис. 14.11, а). Напишем обобщенный закон Гука

Составим векторы (матрицы-столбцы)

Тогда уравнения (14.1) можно записать в матричной форме

или кратко

Рис. 14.11

где

Легко установить, что после перемножения матрицы D на вектор 6 получим три уравнения (14.1).

Из уравнения (14.4) легко установить обратную зависимость

Теперь установим связь между перемещениями и деформациями. Пусть элемент, показанный на рис. 14.11, а, после того как пластина деформировалась, занял новое положение (рис. 14.11, б). Точки 1, 2, 3 и 4 переместились в точки Г, 2', 3' и 4'. В результате деформации всей пластины вырезанный элементарный прямоугольник изменил размеры и форму за счет сдвигов.

Сложные перемещения разложим на три составляющих: перемещения вдоль осей х и у, перекос за счет сдвигов на угол у,.. Первая составляющая перемещения показана на рис. 14.11, в. Если точка 1 переместилась вдоль осихв новое положение на величину их, то точка 2 переместилась на величину их + Аих:

Длина элемента стала больше на величину

Удлинение оказалось равным

Рассуждая так же при рассмотрении перемещений по вертикали на иу, получим

Без вывода приведем выражение для ухи:

В результате получим так называемые уравнения Коши, связывающие перемещения и с деформациями:

Эти уравнения также можно записать в матричной форме:

или

где

Уравнения равновесия напишем без вывода (уравнения Навье):

где

Здесь Wx и Wy — объемные силы (силы веса, силы инерции или магнитного притяжения), приходящиеся на единицу объема.

Если вектором W можно пренебречь, то уравнения (14.8) превратятся в систему

Итак, имеем основные уравнения плоского напряженного состояния

На основании этих уравнений можно записать

Приведенные в этом параграфе формулы позволят построить переходные формулы от перемещений к напряжениям в методе конечных элементов.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы