Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Посмотреть оригинал

Примеры определения частот собственных колебаний

Рассмотрим несколько примеров по определению частот собственных колебаний систем с разным числом степеней свободы.

Пример 1. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 15.20, а. Брус ab будем считать бесконечно жестким, т.е. его деформациями по сравнению с удлинением тяги 1—2 будем пренебрегать. При таких допущениях система будет иметь одну степень свободы. Общий вес балки обозначим Q и приложим его в центре тяжести на расстоянии 1/2 от шарнира а. Масса балки М = Q/g.

Для применения формулы (15.14) необходимо определить величину 5ц от силы, равной единице, приложенной в месте сосредоточения массы т.

Усилие в стержне 1—2 от Р = 1 (рис. 15.20, 6) будет

Рис. 15.20

Перемещение

Частота собственных колебаний по формуле (15.14)

Пример 2. Найдем частоты собственных колебаний системы с двумя степенями свободы, изображенной на рис. 15.21, а. Движения массы из плоскости чертежа считаем невозможным. Вра-

Рис. 15.21

щением массы пренебрегаем. Перемещения массы будут как по вертикали, так и по горизонтали. При определении перемещений учитываем только изгибные деформации. По эпюрам М и М2 (рис. 15.21, б и в) находим

Характеристическое уравнение (15.27) будет

или

Раскрывая определитель, будем иметь

После преобразований получим

Решая квадратное уравнение, найдем два корня

Теперь находим частоты собственных колебаний:

Наименьшей частоте колебаний соответствует наибольшее значение X. В некоторых случаях бывает достаточно определить только одну наименьшую частоту, поэтому при решении характеристического уравнения ставится задача найти только одно характеристическое число Хтах.

Для данной задачи легко определить и собственные векторы, определяющие формы колебаний. Для этой цели вместо X подставим ее значение в систему уравнений (15.26). Подставляя X.) = = 1,54044тсг3/(?/), получим

Первое уравнение разделим на -0,207107mcc'/(EJ), второе на 0,5та'/(EJ), тогда получим два одинаковых уравнения:

Так как абсолютные значения перемещений определить нельзя, то положим у — 1, тогда у2 = 1/2,414214 = 0,414213.

Таким образом, собственный вектор будет

Точно так же найдем второй собственный вектор:

По этим данным построены две формы колебаний. В первом случае по направлению Х = 1, т.е. по вертикали, откладывается первое число вектора, а но горизонтали (по направлению Х2) — второе число. Отрицательная координата вектора V2 отложена в сторону, противоположную действию Х2 = 1.

На рис. 15.22 изображены формы колебаний. Заметим, что масса т в первом случае совершает колебания по направлению оси Zj, во втором — по оси Z2. Здесь уместно отметить аналогию между перемещениями и напряжениями в теории напряженного состояния. Оси Z и Z2 являются главными осями перемещений аналогично главным площадкам в плоской задаче теории упругости. Главные оси Zj и Z2 показаны па рис. 15.23.

Рис, 15.22

Рис. 15.23

Пример 3. Найдем минимальную частоту собственных колебаний системы с тремя степенями свободы, показанной на рис. 15.24, аУ при т{ = т3 = т и т2 = 2т. На рис. 15,24, б показаны введенные связи, по направлению которых будут ориентированы силы инерции. Эпюры от единичных сил инерции Х{ = 1, Х2 = 1, Х2 = 1 приведены па рис. 15.24, в — д.

При определении перемещений примем те же допущения, которые были введены в предыдущей задаче.

По единичным эпюрам находим

Рис. 15.24

Исходя из матричной записи (15.28), запишем матричное уравнение

и будем применять метод последовательных приближений. Задаваясь вектором у, подставляем его в левую часть равенства (15.29). Получив вектор и вынеся за скобку какое-либо число, получим в правой части (в скобках) новый вектор У2. Проделав несколько приближений, получим совпадение векторов уп и уп+ и величин Х„ и Хя+1. На этом приближения заканчиваются. Такой метод всегда дает величину ^тах, а вектор уп позволяет построить форму колебаний, соответствующую минимальной (первой) частоте.

Введем новое обозначение

тогда с учетом того, что т= т,т2 = 2ту т3 = т, вместо уравнения (15.29) получим

где

Зададимся в первом приближении

Подставив у в левую часть уравнения (15.30), получим

В результате первого приближения Проделав три приближения, получим Минимальная частота колебаний

Отложив по направлениям Х Х2 и Х3 ординаты собственного вектора 0,5166; 1,0 и 0,5171, получим соответствующие перемещения масс и форму изгиба стержней, показанные на рис. 15.24, е.

Пример 4. Рассмотрим особый случай, когда число масс, а следовательно, число сил инерции этих масс превышает число степеней свободы. На рис. 15.25, а показана простая рама с двумя массами гп = т2 = т, которая имеет одну степень свободы. Особенность этой системы состоит в том, что перемещения обеих масс не могут быть независимыми друг от друга. Для решения подобных задач могут быть применены два метода. Первый метод состоит в том, что устанавливается связь между перемещениями масс и затем задача сводится к одному неизвестному и определителю первого порядка. По второму методу задача решается в предположении, что перемещения являются независимыми; это приводит к составле-

Рис. 15.25

нию и раскрытию определителя второго порядка. Полученное таким путем характеристическое уравнение должно иметь два корня, но один из них будет равен нулю.

Проведем решение обоими методами. На рис. 15.25, б поставлена всего одна связь, после чего обе массы не будут иметь перемещений (если не учитывать продольные деформации стержней). Таким образом, система имеет одну степень свободы. Па рис. 15.25, в показано перемещение массы тл на величину А, масса т2 также перемещается, при этом видно, что ее перемещения как по вертикали, так и по горизонтали равны Д/2. Суммарное перемещение массы 77*2, направленное перпендикулярно к левому стержню, будет равно (V2/2)A. В этом направлении и будет действовать сила инерции второй массы._

На рис. 15.25, г показана эпюра Му от единичной силы, направленной но_горизонтали, т.е. в направлении движения массы ту. По эпюре Му находим

Перемещение массы т2

Перемещение массы т{ от двух сил инерции б}'дет Но

Подстановка дает

откуда

Таким образом,

Учтя выражения для 5ц и 812, получим

о ткуда найдем частоту свободных колебаний

Применим теперь второй метод. Перемещения обеих масс будем считать независимыми. По эпюре М2 найдем

Определитель (15.27) для данного случая будет

Раскрывая определитель, получим

или

и “ i V2ml3

Первый корень a,j = , а второй л2 = 0.

otj

Таким образом, единственная частота будет

т.е. получен такой же результат, как при использовании первого метода.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы