Расчеты в линейной и нелинейной постановках

Мы живем в нелинейном мире. Строгие линейные зависимости между различными параметрами, определяющими состояние того или иного объекта, встречаются крайне редко. Это в полной мере относится и к объектам, которые изучает строительная механика.

Линейные зависимости между силовыми (или деформационными) воздействиями и перемещениями (обусловленные линейным законом Гука и использованием недеформи- рованпой расчетной схемы) все чаще относят к достаточно

Рис. 17.16

грубым гипотезам, хотя в умелых руках они служат и еще долго будут служить верой и правдой.

Тем не менее в строительной практике все чаще встречаются уникальные объекты (высотные здания, большепролетные покрытия, большепролетные мосты и др.), которые не имеют аналогов и поэтому требуют тщательного расчетного анализа, учитывающего специфические факторы работы конструкций на протяжении всего жизненного цикла: нелинейные зависимости между напряжениями и деформациями (физическая нелинейность), большие перемещения (геометрическая нелинейность), наличие связей односторонних, обусловленных трением и др. (конструктивная нелинейность), изменения конструктивной схемы, обусловленные процессом возведения, форс-мажорными ситуациями, условиями эксплуатации. Проводимый расчетный анализ с учетом перечисленных факторов часто выходит за рамки традиционных представлений о расчете (расчетная схема — соответствующее ей напряженно-деформированное состояние) и уже может трактоваться как математическое моделирование процессов жизненного цикла конструкции — процесса возведения, процесса нагружения, процесса изменения НДС, обусловливаемого изменением характеристик материалов (ползучесть), процесса, вызванного форс-мажорными ситуациями, и др.

Если для линейно-упругого расчета принимаются предпосылки, что жесткости, геометрия и конструктивная схема остаются неизменными на протяжении всего процесса нагружения и в этом случае НДС конструкции можно описать системой линейных уравнений, то нелинейный расчет связан с необходимостью учета изменения жесткостей, геометрии конструкции и конструктивной схемы, и это приводит к описанию НДС конструкции нелинейными уравнениями.

Продемонстрируем получение нелинейных уравнений на небольшом примере.

Конструкция состоит из двух стержней (рис. 17.18), такая конструкция часто встречается в тестовых задачах и носит название фермы Мизеса.

Задача поставлена следующим образом.

Задано: геометрия системы; площадь поперечного сечения стержней F; модуль упругости материал Е нагрузка Р.

Необходимо определить: перемещение W.

Выведем разрешающие системы уравнений (в данном случае это одно уравнение с одним неизвестным — вертикальным перемещением И⁷)-

Рис. 17.18

Линейно-упругая постановка задачи означает, что мы пренебрегаем изменением геометрии в процессе нагружения, т.е. перемещение W пренебрежительно мало по сравнению с размерами a, b, I и действует линейный закон Гука, т.е. а = = Ее, где а — напряжение в стержне; Е — модуль упругости; в — относительное удлинение.

Тогда разрешающее уравнение равновесия имеет вид

где N = оЕ = ЕЕе — усилие в стержне (F — площадь сечения стержня; е = Wsina// — относительное удлинение).

Подставляя значения а и s в уравнение (17.5), получим

Таким образом, получили систему линейных (относительно неизвестных перемещений) уравнений — в данном случае система состоит из одного уравнения с одним неизвестным W.

Теперь выведем разрешающее уравнение при условии, что материал имеет нелинейную зависимость между напряжением и деформациями, например в виде квадратной параболы ст = Ее - Be² (рис. 17.19), где В — величина, зависящая от предела прочности материала.

Тогда

Подставляя значения N в уравнение (17.5) получим

В отличие от линейного уравнения равновесия (17.6) это уравнение нелинейно относительно неизвестного перемещения W, таким образом, физическая нелинейность приве-

Рис. 17.19

Рис. 17.20

ла к образованию системы нелинейных уравнений (в данном случае — одного уравнения).

Теперь выведем разрешающее уравнение типа (17.5) для случая, когда надо учитывать геометрическую нелинейность. Это означает, что перемещение Wдостаточно велико и соизмеримо с размерами а, b, /, поэтому в уравнении равновесия должен фигурировать не sin a, a sin |3 (рис. 17.20), т.е.

Подставляя выражение (17.8) в уравнение (17.5), получим

Как очевидно, уравнение (17.9), так же как и выражение (17.7), нелинейно относительно неизвестного перемещения W, которое здесь входит во второй и в третьей степени и стоит под знаком корня.

Аналитически решить нелинейное уравнение (17.9) в явном виде невозможно, а на практике необходимо решать систему нелинейных уравнений типа (17.7) и (17.9), включающих сотни тысяч неизвестных. На помощь приходит численный аппарат. Имеется много методов решения систем нелинейных уравнений. Большинство из них реализовано в ПК ЛИРА- САПР. Чаще всего используется шаговый метод. Он заключается в том, что нагрузка дробится на несколько частей АР= Р/п, где п — количество шагов, и уравнение (17.9) на каждом, например (i + 1)-м, шаге приобретает вид

на этом этапе VP₇ известно из предыдущего шага и уравнение линейно относительно AWj+j.

Расчет начинается с ненагруженного состояния, когда W₀ = 0.

Окончательное значение W определяется суммированием всех приращений, т.е.

Таким образом, на простейшем примере показано, что нелинейные зависимости между напряжениями и деформациями и учет больших перемещений приводят к необходимости решать системы нелинейных уравнений типа (17.7) и (17.9).

Природа нелинейности может быть различна:

• • физическая нелинейность, обусловленная реологическими свойствами материала, т.е. нелинейной зависимостью между напряжениями и деформациями. Такая нелинейность характерна для железобетонных конструкций, в которых уже при небольших эксплуатационных нагрузках появляются трещины, резко снижающие жесткость элементов, сюда относятся также и грунтовые массивы, так как грунт плохо работает на сдвиг и практически выключается из работы при растяжении;
• • геометрическая нелинейность, связанная с необходимостью учета больших перемещений, которые значительно изменяют начальную геометрию конструкций. Такая нелинейность характерна для специальных металлических конструкций — об этом см. ниже;
• • конструктивная нелинейность, обусловленная свойством конструкции менять свою конструктивную схему в процессе нагружения. Такая нелинейность характерна для конструкций, имеющих технологические зазоры, которые в процессе нагружения могут закрываться, плит и балок на грунтовом основании, опоры которых не работают на отрыв (односторонние связи), в какой-то мере сюда можно отнести нелинейность, связанную с изменением конструктивных схем в процессе монтажа.

Геометрическую нелинейность условно можно разделить на два типа.

I тип характерен для большепролетных ферм, структур, арок, которые обладают большой гибкостью и поэтому допускают большие перемещения. Здесь расчет необходимо проводить с учетом окончательной геометрии, которая может сильно отличаться от начальной. Для такого расчета существует устоявшийся термин — «расчет по деформированной схеме».

II тип характерен для таких конструкций, как вантовые фермы, вантовые покрытия, мембраны, отдельные ванты. Характерной особенностью таких кон- струкций является то, что для восприятия различных видов нагрузок они должны изменить свою форму — так, нить под собственным весом принимает форму, близкую к квадратной параболе, а при сосредоточенной нагрузке она должна принять форму треугольника (рис. 17.21)/

Рис. 17.21

Для расчета конструкций с учетом геометрической нелинейности в ПК ЛИРА-САПР имеются специальный процессор, который реализует шаговый метод, и набор специальных конечных элементов.

Расчет в нелинейной постановке позволяет проследить важные эффекты работы конструкции, такие как перераспределение усилий с более нагруженных элементов на менее нагруженные, нарастание перемещений во времени, вызванное реологическими свойствами материала — ползучестью и др. По сравнению с расчетом в линейной постановке, когда ставится задача найти НДС, соответствующее заданной расчетной схеме, расчет в нелинейной постановке можно трактовать как компьютерное моделирование процессов — процесса возведения, процесса нагружения, процесса изменения НДС в эксплуатационный период, т.е. моделирование процессов, связанных с жизненным циклом конструкции.