Показатели надежности ремонтируемых объектов, восстанавливаемых в процессе применения

Показатели надежности таких объектов вычисляются лишь в календарном времени.

Восстанавливаемые в процессе применения ремонтируемые объекты можно разделить на две группы.

К первой группе относятся объекты, для которых в течение заданного времени работы допускаются отказы и вызванные ими кратковременные перерывы в работе. Для объектов этой группы большое значение имеет свойство готовности — способности находиться в процессе эксплуатации максимальное время в работоспособном и готовом к применению состоянии.

Ко второй группе относятся объекты, отказы которых в течение заданного времени недопустимы. Если в этих объектах (системах) имеются избыточные элементы, то при отказах некоторых из них объект остается работоспособным и можно проводить ремонт отказавших элементов во время выполнения задачи.

Один и тот же объект может быть отнесен к разным группам в зависимости от режима его применения.

Рассмотрим процесс эксплуатации объектов первой группы (рис. 3.2). После отказа (отмечен крестиком) объект некоторое

Реализация случайного процесса эксплуатации ремонтируемого восстанавливаемого объекта первой группы

Рис. 3.2. Реализация случайного процесса эксплуатации ремонтируемого восстанавливаемого объекта первой группы:

/(|>, ..., t(n) значения времени работы между отказами;/*1*, ...» /*и) — значения

времени восстановления (ремонта);/^* — значение времени между (/ - 1)-м и |-м восстановлениями; /ь ..., t„ — моменты времени появления отказов (ххх); /[, ..., t'n моменты времени восстановления (ооо)

время находится в неработоспособном состоянии, т.е. ремонтируется. В результате ремонта объект приводят в работоспособное состояние. Возможные периоды выключения объекта, когда он не отказывает и не восстанавливается, исключаются из рассмотрения.

Таким образом, для первой группы объектов в процессе эксплуатации чередуются случайные периоды времени безотказной работы Г*0 и времени восстановления (ремонта) Гв(/). Обычно полагают, что случайные величины 740 имеют одинаковые распределения (аналогично и Гв(,)). Случайное время между очередными восстановлениями (обозначены кружками) Г0(/) = 7т(/) + Гв(/).

Если случайные величины Т и Тв независимы, то плотность распределения их суммы Т0 по известному из теории вероятностей правилу о композиции распределений

где /(/) — плотность распределения времени безотказной работы; g(t) — плотность распределения времени восстановления (ремонта) объекта.

По аналогии с ремонтируемыми невосстанавливаемыми объектами можно рассматривать поток восстановлений с параметром

где fQ(t) — плотность распределения времени между очередными восстановлениями.

Параметр потока восстановлений щ(!) и плотность распределения времени до появления я-го восстановления (это время равно сумме T0(l)) связаны следующим соотношением:

Надежность объектов первой группы может быть оценена при помощи мгновенных и числовых показателей. Одним из мгновенных показателей является параметр потока восстановлений щ(1). Однако обычно применяют вероятность Г(/,) застать объект работоспособным (готовым к применению) в момент времени t, либо вероятность П(/,) = 1 - Г(/,) того, что объект в момент времени /, будет неработоспособным (будет находиться в состоянии вынужденного простоя). Зависимость Г (г,) называется функцией готовности.

Как вероятность Г(/,), так и вероятность П(/,) находятся в предположении, что при t = 0 объект работоспособен, т.е. Г(0) = 1, П(0) = 1.

Объект может находиться в момент времени t в работоспособном состоянии при осуществлении одного из двух несовместных событий:

  • 1) объект в течение времени (0, /) не отказал;
  • 2) объект отказывал и восстанавливался и после последнего восстановления больше не отказывал.

Вероятность Г(0 застать объект работоспособным в момент времени t равна сумме вероятностей появления указанных событий. Вероятность появления первого события равна вероятности безотказной работы p(t) объекта в течение времени (0, t).

Для определения вероятности появления второго события рассмотрим малый интервал (т, х + dt), предшествующий /. Вероятность того, что на этом интервате закончится последний п-й ремонт и объект больше не откажет за оставшееся время (/ - т), равна

Суммируем по всем п = 1, 2, ... и получаем

где <о0(т) — параметр потока восстановлений.

Интегрируя по т от 0 до t, находим:

Таким образом, вероятность застать объект работоспособным в момент времени t

Применим к формуле (3.9) узловую теорему восстановления (теорему Смита), согласно которой

где П(зс) — математическое ожидание числа отказов на интервале (О, х); тл — математическое ожидание времени между очередными событиями потока; q(x) — невозрастающая интегрируемая на интервале (0, оо) функция.

Учтем, что математическое ожидание случайной величины Т0 = Т + Г, равно т, + т,ь и что

тогда получим

Таким образом, вероятность Г(/) при t -» оо стремится к установившемуся значению к,, не зависящему от законов распределения случайных величин Т и Тв. Величина к, часто отождествляется с коэффициентом готовности, который определяется как вероятность того, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых использование объекта по назначению не предусматривается.

Согласно формуле (3.10) коэффициент кт готовности можно понимать как долю времени, в течение которого объект работоспособен, от общего времени эксплуатации объекта.

Учитывая общие свойства процесса восстановления, можно отметить особенность процесса приближения Г(?) к установившемуся значению кг: при фиксированных значениях ш, и /и,в стационарный режим наступает тем медленнее, чем меньше дисперсия случайной величины Т0= Т + Тв.

Часто используют среднее за срок службы значение коэффициента готовности:

при этом

Проведя рассуждения, аналогичные приведенным ранее при выводе формулы (3.9), можно получить выражение для определения вероятности Г(Г, t + т) того, что объект не только окажется работоспособным в момент времени /, но и проработает безотказно на заданном интервале (t, t + т) (иногда эту вероятность называют готовностью на промежутке (г, / + т) или оперативной готовностью):

Функцию готовности Г(г) можно рассматривать как частный случай функции Г(/, t + т) при т = 0. При т -» °о функция Г(/, / + + х) превращается в условную вероятность безотказной работы объекта, найденную в предположении, что в момент времени t объект работоспособен.

Установившееся значение

При произвольных законах распределения времени между отказами и времени восстановления решение уравнений (3.12) и (3.13) встречает большие трудности. Могут быть использованы численные методы; иногда оказывается удобным операционный метод.

Наибольшее практическое значение имеет случай, когда время между отказами и время восстановления имеют показательные распределения:

где ц — интенсивность восстановления.

В результате решения уравнений (3.9)—(3.13) получим

Формулы (3.15)—(3.18) в основном и используются при практических расчетах. Чтобы полнее и нагляднее раскрыть смысл коэффициента готовности, получим выражение (3.15), применяя приемы теории массового обслуживания.

При допущениях (3.14) процесс изменения состояний объекта будет марковским (т.е. без последействия) процессом с непрерывным временем и конечным множеством состояний: 0 — объект работоспособен; 1 — объект неработоспособен, находится в ремонте.

Найдем сначала вероятность того, что объект окажется работоспособным в момент времени 1 + At. Для обозначения вероятностей нахождения в определенных состояниях в момент t будем применять прописные буквы P(t) в отличие от вероятности безотказной работы в течение времени от 0 до t, обозначаемой p(t). Искомое событие может быть осуществлено двумя следующими несовместимыми способами:

  • 1) работоспособный к моменту времени t объект останется работоспособным в течение интервала времени (/, t + At);
  • 2) неработоспособный (находящийся в ремонте) к моменту времени t объект будет восстановлен в течение интервала времени (/, t + Л/).

Все остальные возможности имеют вероятность более высокого порядка малости, чем At.

Вероятность первого из указанных событий

где P0(t) — вероятность застать объект в момент времени t в состоянии 0; о(Д/) — бесконечно малая по сравнению с At величина.

Поскольку сумма вероятностей состояний 0 и 1 то вероятность второго события

Следовательно, вероятность того, что к моменту времени t + + At объект окажется работоспособным,

Отсюда заключаем, что

При At -> О

Решив уравнение (3.19) для P0(t) = Г(/) при Г(0) = Р0(0) = 1, получим формулу (3.15).

Если обозначить

то формулу (3.16) можно записать в следующем виде:

Когда т, » /я,в, что обычно и бывает на практике, ^*р.

На рис. 3.3 показана зависимость функции готовности Г(/) от коэффициента р = А/ц. При увеличении значения р надежность объекта снижается, но стационарный режим устанавливается более быстро. Если формулу (3.15) переписать в виде

то очевидно, что продолжительность переходного процесса определяется также величиной ц: чем больше р, тем быстрее наступает

Рис. 3.3. Функции готовности Г(/) при показательных распределениях времени безотказной работы и времени восстановления стационарное значение. Приводимые на рис. 3.3 графики соответствуют р = 0,2 ч'1. Соответствующая зависимость для р = = 1,0 ч"1 при р = 0,2 проведена на рис. 3.3 пунктиром.

При р « 1 и больших значениях р (системы с высоким уровнем безотказности и ремонтопригодности) продолжительность переходного процесса для Г(/) определяется в основном значением р.

Формулу (3.15) можно преобразовать с учетом того, что

и значение кг определяется формулой (3.16):

При X = const, р = const в начальный период эксплуатации объекта значения Г(/) приближенно равны значениям вероятности безотказной работы p(t) на интервале (0, /). В этом можно убедиться, если в формулах для Г(/) и p(t) разложить экспоненты в ряды, в которых оставить лишь линейные члены.

При этом получается, что при малых / функция готовности Г(/) будет определяться следующим выражением:

Чтобы избежать трудоемких вычислений значений Г(/) в нестационарный период, предложено приближенно считать, что до некоторого момента времени /ь при котором вероятность безотказной работы р(/|) = кп значения Г(/) совпадают с p(t), а при / > /, — равны к, (рис. 3.4). При этом максимальная погрешность будет в точке /,, которую найдем из условия

откуда

Подставим это значение г, в формулу (3.20), после преобразований получим:

При этом максимальная относительная погрешность вычислений

Поскольку обычно kj. > 0,9 и близко к единице, то

Для кг > 0,9 погрешность не велика (менее 4 %) и быстро уменьшается с ростом кг.

Приведенные на рис. 3.3 и 3.4 зависимости имеют место при X = const, ц = const. При распределениях времени безотказной работы, отличающихся от показательного, часто существует провал функции готовности на начальном участке, когда Г(/) имеет вид, показанный на рис. 3.5. На рис. 3.5 можно выделить три характерные точки кривой Г(/): /ь /2, /3.

На участке (0, /1) функция готовности незначительно отличается от вероятности безотказной работы объекта за время (0, /,). В тех случаях, когда удается найти границу допустимого приближения, можно считать Г(/) « p(t).

В точке /2 функция Г(г) достигает минимального значения. Величина провала АГ = кг - Г(/2) функции готовности зависит от законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления. Задача определения Г(/2) решена аналитически лишь для случая, когда закон распределения времени безотказной работы может быть описан суперпозицией показательных рас-

Зависимость Г(/) и p(t)

Рис. 3.4. Зависимость Г(/) и p(t)

Нестационарный участок функции готовности системы, у которой распределение времени безотказной работы описывается суперпозицией двух показательных распределений пределений

Рис. 3.5. Нестационарный участок функции готовности системы, у которой распределение времени безотказной работы описывается суперпозицией двух показательных распределений пределений (при этом учитывается наличие периода приработки) и время восстановления распределено по показательному закону. При этом установлено, что более крутому спаду начального участка (t) соответствует более глубокий провал функции Г(0- Кроме того, значение провала и его длительность возрастают при увеличении безотказности системы. Поэтому отрицательно влияние процесса приработки на функцию готовности наиболее сильно проявляется в высоко надежных системах.

Наряду с коэффициентом готовности часто применяют коэффициент технического использования к^ к — отношение математического ожидания времени пребывания объекта в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математических ожиданий времени пребывания объекта в работоспособном состоянии, времени простоев, обусловленных техническим обслуживанием, и времени ремонта за тот же период эксплуатации. Очевидно, что всегда к, „ < к,.

Предположим, что простои могут быть лишь двух видов: аварийные при восстановлении работоспособности объекта после отказа и плановые (профилактические).

Если среднее число отказов за период эксплуатации (/,, t2) равно Q, то общее время эксплуатации состоит из трех слагаемых:

  • 1) времени нахождения в работоспособном состоянии — продолжительность С1т,;
  • 2) времени нахождения в аварийном ремонте — продолжительность Йт,в;
  • 3) времени нахождения в плановом ремонте — продолжительность 1/пл.

Следовательно,

Коэффициент технического использования

Подставив в формулу (3.21) вместо т, его выражение, согласно формуле (3.16) получим:

Надежность восстанавливаемых объектов, в которых отказы недопустимы, а возможен ремонт некоторых элементов во время выполнения задачи, чаще всего оценивают с помощью условной вероятности безотказной работы p(thtj) в течение заданного интервала времени (th tj) при условии, что в начальный момент времени все элементы работоспособны. Слово «условная» обычно опускают.

Отличие p(ti,tj) от соответствующего показателя для неремон- тируемого объекта состоит в том, что при вычислении /?(/,,/у) учитывается ремонт отказавших элементов при работоспособном объекте (системе). Обычно оценка /К A,/у) для проектируемых объектов производится при допущении о показательных распределениях времени безотказной работы и времени восстановления элементов. Расчет таких систем описан в гл. 4.

Для объектов второй группы в качестве показателей надежности могут использоваться также параметр потока отказов, наработка на отказ и другие характеристики.

Все рассмотренные в этой главе показатели надежности объектов можно разделить на три группы:

  • 1) интервальные, относящиеся к заданному интервалу наработки или времени (/,, t2);
  • 2) мгновенные, соответствующие заданному значению времени или наработки /;
  • 3) числовые, не связанные с расположением заданного интервала или момента времени (наработки).

Таблица 3.2

Показатели

надежности

Вид объектов

Неремонтируемые

Без восстановления в процессе применения

С восстановлением в процессе применения

с перерывами в работе

без перерывов в работе

Интервальные

p(t) />('„ tj)

p(t, t + д/) KU,tj)

р(>„ tj)

Мгновенные

At), т

<о(0

г(0

со(/)

Числовые

Мн ^ср> А»

(0ср

тп mtu кг, кг

тп 0)ср

Основные показатели надежности сведены в табл. 3.2. Сюда не включены показатели, связанные с условными распределениями наработки между отказами ремонтируемых невосстанавливаемых в процессе применения объектов. Эти показатели аналогичны показателям надежности неремонтируемых изделий и должны быть дополнены моментами связи или коэффициентами корреляции наработки между отказами.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >