Соотношения неопределенностей

Допустим, что микрочастица заведомо находится в некотором интервале Дх оси х. Это значит, что волновая функция должна быть отлична от нуля только в данном интервале и представляет собой волновой пакет шириной Дх. Согласно соотношениям (1.55) ширина волнового пакета неразрывно связана с интервалом волновых чисел Акх плоских волн, из которых составлен этот волновой пакет. Так как импульс частицы и волновой вектор волны де Бройля пропорциональны друг другу, то из (1.55) получаем

Аналогичные неравенства справедливы вдоль осей у, z'-

Такие неравенства впервые получил Гейзенберг (1927). Их называют соотношениями неопределенностей. Они играют важную, принципиальную роль в квантовой физике.

Приведенный вывод довольно грубый. Более точный и последовательный вывод этих соотношений дан в курсе квантовой механики, где величины Дх, Арх рассматриваются как среднеквадратичные отклонения от средних значений и определяются общими статистическими соотношениями:

Черта сверху обозначает средние величины типа (1.89), (1.94). При строгом квантово-механическом расчете следует неравенство:

Величина Дх определяет погрешность в измерении положения частицы на оси х, а Арх погрешность в измерении проекции импульса. Тогда из (1.98) следует, что невозможно одновременно сколь угодно точно измерить координату и соответствующий импульс микрочастицы. Действительно, допустим, что положение частицы на оси х известно точно, т. е. Дх=0. Тогда согласно (1.98) проекция импульса частицы совершенно не определена: Арх=оо. И наоборот, если известен точно импульс, то местоположение частицы является неопределенным. Например, в случае свободной частицы волновая функция имеет вид (1.69). Тогда плотность вероятности

|г|)|2 = у42 = const , т. е. частица с одинаковой вероятностью может

быть обнаружена в любой точке пространства.

Чтобы понять значение соотношений Гейзенберга, приведем простые оценки. Рассмотрим сначала макроскопическую частицу, например, с массой 1 г. Погрешность в определении центра тяжести частицы примем за Дх~ КГ4 см. Тогда погрешность в определении

скорости — &vx «Л/тДх«10“23см/с. Эта погрешность ничтожно мала. Она лежит далеко за пределами экспериментальных возможностей. Таким образом, для макроскопической частицы ее положение и импульс могут быть одновременно определены с достаточно высокой степенью точности. Поэтому для таких частиц вполне справедлив классический метод динамического описания с помошью координаты и импульса. В этом случае соотношение неопределенностей не имеет практического значения. Для микроскопической частицы, например, электрона, находящегося в атоме, те «КГ27 г, Дх«10“9см.

Тогда погрешность в определении скорости — Avx %109 см/с — уже сравнима с самим значением скорости электрона и даже превосходит его. Действительно, характерной энергии электрона в атоме порядка

10 эВ соответствует скорость г/%108 см/с. Таким образом, при достаточно точном задании положения электрона в атоме его скорость нельзя считать вполне определенной.

Соотношения неопределенностей позволяют естественно объяснить факт существования атомов и их определенного объема, а также их устойчивость при воздействии внешнего давления. Действительно, электроны в атоме испытывают электростатическое притяжение ядром. Несмотря на это, они не «падают» на ядро, а остаются в ограниченном объеме атома. Это можно понимать так, что в атоме существуют как бы «силы отталкивания», которые удерживают электроны в состоянии равновесия. Условие равновесия определяет некоторое среднее расстояние электрона от ядра, т. е. размеры атома. С уменьшением этого расстояния, в соответствии с соотношением неопределенностей, возрастает импульс электрона, т. е. его кинетическая энергия. Это приводит к возрастанию средней «силы отталкивания» электрона от ядра. Вместе с тем отметим, что указанная картина имеет чисто квантовое происхождение и не связана с возникновением каких-то сил.

Если частица находится в ящике длиной а, то этим размером определяется местоположение частицы, т. е. Ах~а. По соотношению неопределенности Ap^h/a , так что энергия частицы

Е = (Ар^ /2т ^h2/2ma2 . Отсюда видно, что более точное определение ее местоположения требует затрат энергии, которые возрастают с уменьшением а. Таким образом, чем в меньшей области локализована частица, тем большей энергией она обладает. Например, электроны в атомах (размеры порядка КГ8 см) обладают энергией около 10 эВ, а нуклоны в ядрах (размеры порядка 10”|3см) имеют энергию порядка нескольких МэВ.

Соотношения неопределенностей вызвали в свое время множество дискуссий и различных толкований. Популярным было такое высказывание: электрон и другие микрочастицы характеризуются определенными координатами и импульсами. Однако законы микромира, выражающиеся в соотношениях неопределенностей, запрещают одновременно знать положение частицы и ее импульс сколь угодно точно. Такое суждение приводит фактически к утверждению, что существует предел человеческого познания (агностицизм). Для правильного понимания этих соотношений необходимо иметь в виду, что введение динамических характеристик частицы (материальной точки) — координаты и импульса — в классической механике основано на многочисленных экспериментальных данных, и эти характеристики являются понятиями макроскопическими. С точки зрения физики нельзя требовать, чтобы эти понятия автоматически переносились в область микроскопических масштабов. Это следует из того, что реальные микрочастицы обладают и корпускулярными, и волновыми свойствами. Поэтому нельзя говорить, например, что «импульс частицы в точкех равен р», потому что длина волны по своему определению не может быть функцией координаты, так что согласно соотношению (1.60) импульс тоже не может зависеть от координат. Так же нельзя ответить на вопрос — какова частота колебаний маятника в данный момент времени, поскольку по определению частоты надо проследить за многими колебаниями. Таким образом, макроскопические понятия классической механики не могут дать адекватного описания микроскопических явлений. Поэтому соотношения неопределенностей выступают как объективная закономерность, которая устанавливает не предел нашего познания, а ограничения на применимость классических понятий координаты и импульса к описанию состояния микрочастицы. Количественно граница применимости классических представлений определяется постоянной Планка.

Различные проблемы, связанные с толкованием соотношения неопределенностей и с теорией познания в атомной физике, были предметом острых дискуссий Эйнштейна с Бором. Наиболее полно это описано в книге Нильса Бора «Атомная физика и человеческое познание». В этих дискуссиях, в частности, обсуждались многочисленные мысленные эксперименты, связанные с проверкой соотношения неопределенностей. Допустим, что можно указать эксперимент, который, может быть, пока не осуществим по техническим причинам современными экспериментальными средствами, но который позволял хотя бы в принципе одновременно измерить положение и импульс микрочастицы с любой точностью. Это означало бы тогда, что соотношения неопределенностей принципиально ошибочны и что сама квантовая механика ошибочна. Однако самые хитроумные мысленные эксперименты привели к подтверждению этих соотношений, и, следовательно, к подтверждению логической непротиворечивости квантовой механики.

Из множества таких экспериментов рассмотрим лишь два простейших.

Дифракция электронов на одной щели (рис. 1.37).

Факт возникновения дифракционной картины, которая изображена справа, означает, что электрон, падающий на щель слева, безусловно проходит сквозь нее. Если экран со щелью жестко закреплен, то ее ширина может служить мерой неопределенности положения электрона в момент прохождения им щели. Уменьшая ширину до сколь угодно малой величины, можно определить положение элек-

Рис. 1.37

трона в этот момент в принципе с любой степенью точности. А что можно сказать об импульсе электрона в тот же момент времени? Ясно, что возникновение дифракционной картины возможно лишь вследствие изменения направления движения электрона при прохождении шели. Другими словами, вдоль оси х импульс электрона меняется на величину Арх. Какова эта величина — точно сказать нельзя, так как электрон с определенной вероятностью может попасть в любую точку на экране, регистрирующем дифракционную картину. Изменение импульса можно оценить по формуле Др %рsince — -“Since,

X

где X — длина волны де Бройля. Будем учитывать попадание электронов на регистрирующий экран только в пределах главного дифракционного максимума. Тогда угол а характеризует направление к первому дифракционному минимуму. Для этого необходимо, чтобы разность хода двух волн, дифрагированных от верхнего и нижнего краев щели, удовлетворяла условию: Axsina^X. Комбинируя последние две формулы, приходим к соотношению (1.96).

Если необходимо измерить с высокой точностью импульс электрона, то вместо жестко закрепленного необходимо взять очень легкий подвижный экран со щелью. В этом случае в момент прохождения электроном щели по импульсу отдачи можно в принципе определить сколь угодно точно импульс электрона. Однако в этом случае его положение нельзя характеризовать шириной щели, так как она перемещается вместе с экраном в момент прохождения электрона и не может служить системой отсчета. Это находится в полном соответствии с соотношением неопределенностей.

Рис. 1.38

Гамма-микроскоп (рис. 1.38). Для определения положения электрона оптическим путем необходимо освещать его светом и наблюдать рассеянный свет. Разрешающее расстояние микроскопа и точность определения координаты электрона пропорциональны длине волны освещающего света, поэтому необходимо использовать коротковолновое излучение. Но в этом случае из-за комптоновского рассеяния света с частотой v электрон приобретает импульс отдачи порядка hv/c. Положение электрона можно определить с погрешностью, определяемой разрешающим расстоянием: Ax«X/sina, где а — угловая апертура объектива. Направление импульса отдачи электрона является неопределенным, так же как и направление рассеянного кванта света. Однако, если рассеянный квант наблюдать в микроскоп, то неопределенность его направления совпадает с угловой апертурой. Таким образом, неопределенность импульса отдачи электрона имеет по- /rv

рядок До «—sina, так что соотношение неопределенностей (1.96) с

выполняется и в этом случае.

Соотношение неопределенностей типа (1.96) справедливо не только для координаты и импульса, но и для любой пары канонически сопряженных переменных. В частности, такой парой помимо координаты и импульса являются, например, азимутальный угол ср и проекция вектора момента импульса iz на ось z и др. Поэтому существует соотношение неопределенности

Вместе с тем возможно одновременное существование величин, не являющихся канонически сопряженными переменными. Например, положение частицы на оси х и проекция вектора импульса частицы на ось у могут быть одновременно измерены со сколь угодно высокой точностью.

Особую роль играет соотношение неопределенностей для энергии и времени

К такому соотношению можно прийти на основе качественных соображений, используя формулу (1.54) для волнового пакета. Будем считать, что этот пакет составлен из плоских волн де Бройля. Изменение амплитуды пакета определяется множителем sin|/?, где % = bkx (vgt — x^j. Рассмотрим амплитуду пакета в точке х=0. Тогда |х=0 =6рх vt/h = %{). Здесь учтены соотношения (1.60) и (1.71). Будем понимать под Ьрх среднеквадратичное отклонение импульса частицы. Тогда величину v6px =6Е можно рассматривать как среднеквадратичное отклонение энергии. Рассуждая так же, как в § 1.6, приходим к соотношению вида (1.100). Это неравенство рассматривают как связь между временем пребывания, т. е. временем жизни системы в данном состоянии, и неопределенностью в энергии этого состояния (Л. И. Мандельштам, И. Е. Тамм). Это значит, что чем короче время пребывания системы в данном состоянии, тем с меньшей точностью определена энергия этого состояния. Вполне определенное значение энергии существует только в состоянии, живущем бесконечно долго, т. е. в стационарном.

Если измерять энергию некоторой квантовой системы — Е> то в результате измерения (взаимодействия данной системы с измерительным прибором) она изменится и станет равной Е'. Тогда абсолютная величина погрешности измерения энергии системы, проводимого за время А/, определяется неравенством (Бор):

Отсюда видно, что чем с большей точностью требуется измерить энергию системы, тем дольше необходимо проводить это измерение.

Рассмотрим, как соотношение неопределенностей связано с видом волновой функции. Для простоты движение частицы будем считать одномерным.

  • • Если заданы точно импульс частицы и ее энергия, то согласно соотношениям (1.96), (1.100) местонахождение частицы не определено, и она находится в стационарном состоянии. В таком случае волновая функция имеет вид плоской волны (1.69).
  • • Допустим, что частицу можно найти с равной вероятностью на некотором отрезке 2а (рис. 1.39). В этом случае плотность вероятности
  • 2 а 2 равна |ф()| = А2 = const. Из условия нормировки ^|ф| dx — 1 полу-

чаем Л = jу]2а . По формуле (1.92) волновая функция частицы в про-

. / Г j ш / 2сь4й . х

странстве импульсов равна: Ф(/?1 = а / ах фиме л =-sin——.

Плотность вероятности того, что импульс находится в окрестности рх.,

равна ф(Рх$=Щ-$п2^. График этой кривой изображен на

рис. 1.40. Ширина кривой, определяемая по первому минимуму, равна Дрх «2nh/a. Так как погрешность в определении положения частицы Ах « , то отсюда следует: ДхДрх ^ 2nh.

Соотношения неопределенностей объективно отражают важные свойства микромира.

Рис. 1.39

• Прежде всего, микрочастицы не имеют определенной траектории своего движения, поскольку координата и импульс одновременно не существуют. Вместе с тем при больших энергиях частицы (малых длинах волн де Бройля) возможно приближенное описание ее движения на языке классических траекторий.

Применение понятия траектории к микрочастице, как и к волне, возможно при пренебрежении дифракцией. При распространении

1

Рис. 1.40

света в неоднородной среде это соответствует приближению геометрической оптики, которая справедлива при условии, что длина волны намного меньше характерного масштаба неоднородности L:

Отсюда следует, что возможность пренебрежения дифракцией волны де Бройля зависит как от импульса (энергии) частицы, так и от масштаба неоднородности, и определяется неравенством

Например, при падении на кристалл высокоэнергетичных электронов, ускоренных до энергии 1 ГэВ (длина волны де Бройля около 10~13см), дифракционная картина не наблюдается, так как в этом случае выполняется неравенство (1.102). Вполне справедливым оказывается также расчет траекторий а-частиц в опытах Резерфорда по классической теории. По этой же причине можно приближенно говорить о траектории быстро движущейся частицы в камере Вильсона. В самом деле след, например, электрона в камере Вильсона представляет собой капельки жидкости, которые образуются на созданных электроном ионах. Размер этих капелек около КГ4 см. Такова же, очевидно, и неопределенность в координате электрона. Тогда неопределенность в компоненте скорости, перпендикулярной направлению движения

электрона, равна Avx = « h/mAx «10_27/нГ27 -КГ4 = 104 см/с . Следы

в камере Вильсона оставляют лишь достаточно быстрые электроны, скорость которых больше 109см/с. Таким образом, погрешность в определении скорости относительно мала: Avx <к v. [1]

положений и импульсов. Деление полной энергии частицы на кинетическую и потенциальную не имеет смысла. Энергия микрочастицы определяется и измеряется лишь как полная энергия.

• Свойства атомного объекта неотделимы от средств наблюдения. Объекты наблюдения — это микрочастицы — электроны, фотоны идр. Они описываются законами квантовой физики. Средства наблюдения — макроскопические — это экспериментальные установки, например экран со щелями, кристалл, фотопластинка и т. д., и они подчиняются законам классической физики. Измерения или наблюдения макро- и микрообъектов существенно отличаются друг от друга. В классической физике при измерении состояние объекта не изменяется (или практически не изменяется). Например, измерение скорости движущегося автомобиля дорожным патрулем никак не меняет состояния автомобиля (и водителя, если он не нарушил правил движения). Никак не изменяется также состояние Земли при измерении ее положения на траектории вращения вокруг Солнца и т. д. При измерении же или наблюдении микрообъекта происходит не только изменение, но и разрушение его прежнего состояния. Например, при измерении положения электрона в гамма-микроскопе (см. рис. 1.38) в результате взаимодействия с гамма-квантом электрон приобретает дополнительный импульс. Это значит, что первоначальное состояние электрона нарушается. Полностью разрушается также прежнее состояние дифрагировавшего электрона при регистрации его, например, с помощью фотопластинки и т. д. Напомним, что согласно соотношениям неопределенностей в эксперименте может быть измерена лишь одна из пары канонически сопряженных переменных.

С теоретической точки зрения регистрация микрообъекта, например с помощью фотопластинки, означает, что его волновая функция мгновенно обращается в нуль всюду вне области регистрации. Это называется редукцией, или коллапсом, волновой функции. До сих пор проблема измерений в квантовой теории, особенно в связи с новыми экспериментальными возможностями, является предметом острых дискуссий.

Классические понятия «частица» и «волна» взаимно исключают друг друга. Однако оказалось, что реальный микрообъект, который называют электроном, обладает и свойствами частицы, и свойствами волны. При этом квантовый объект — это не просто сумма свойств волны и частицы, так же как, например, кентавр — не результат простого сложения коня и человека, а качественно нечто новое. Поэтому Бор считал, что корпускулярные и волновые свойства материи не исключают, а дополняют друг друга. Только выявляя на опыте различные дополняющие друг друга свойства микрочастиц, можно составить наиболее полное представление о них. В этом состоит принцип дополнительности Бора.

В классической физике имеет место принцип причинности, согласно которому задание состояния некоторой системы в начальный момент времени полностью определяет ее состояние во все последующие. Состояние квантовой системы определяется с помощью волновой функции. Ее изменение со временем описывается вполне детерминированным уравнением Шредингера, так что заданием волновой функции в начальный момент времени она определяется и в последующие. Это можно рассматривать, как проявление принципа причинности в квантовой механике. Вместе с тем физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля. Это связано с тем, что волновая функция описывает не осуществленное состояние микрообъекта, а потенциально возможные его состояния. Отметим, что в микромире детерминизма в классическом понимании не существует. Поясним это на простом примере. Допустим, что пучок света падает на прозрачную пластинку. Тогда часть света отражается, а часть — проходит сквозь пластинку. Что при этом происходит с отдельным фотоном? При попадании на пластинку он сохраняет свою индивидуальность, т. е. не расщепляется на два (иначе изменилась бы его частота при отражении или прохождении, что противоречит законам оптики). Поэтому отдельный фотон может либо отразиться, либо пройти сквозь пластинку. Так что прохождение и отражение фотонов светового пучка носит случайный характер: часть с вероятностью W, отражается, а часть с вероятностью W2 проходит, причем Wt + W2= 1. Таким образом, поведение фотона при попадании на пластинку не предсказуемо однозначно.

Вероятностная (так называемая копенгагенская) интерпретация волновой функции и квантовой механики наиболее распространена и признана. Вероятностный характер предсказаний квантовой механики непосредственно подтверждается экспериментом. Наряду с этим существуют различные формы и интерпретации квантовой механики.

Для объяснения вероятностного характера законов микромира выдвигалась идея о существовании не учитываемых в квантовой теории «скрытых параметров». Однако многочисленные эксперименты не подтвердили эту идею. В частности, эксперимент с дифракцией фотона на двух щелях полностью подтвердил предсказания квантовой механики.

ЗАДАЧИ

1. С помощью соотношения неопределенностей оценить размеры атома водорода и энергию связи электрона.

Решение. Считая, что погрешность в определении расстояния электрона от ядра порядка этого расстояния, а погрешность в определении импульса — порядка этого импульса, имеем для энергии электрона

Е = —---———1---—— . Видно, что первый член описывает от-

2те 4ле0г 2те г2с0г

талкивание, а второй — кулоновское притяжение к ядру. Равновесие отвечает минимальному значению энергии (равенство нулю полной силы,

действующей на электрон): -^? = 0. Отсюда: rmin =-—-- = 0,S3 10~8 см, ?т)„=-13,6эВ. dr

2. Оценить минимальную энергию электронов в атоме гелия и их расстояние от ядра. Сравнить с задачей 6 к § 1.4.

Решение. Считая для обоих электронов Дг « г , Ар % р, для полной

энергии получаем Е — 2 —---—— Н—-————. При равнове-

2 те 4 л€0r J 8ле0г т^г2 8лс0г

сии -^? = 0. Отсюда г . % 16л?^ = 0,3 • 10~8 см , Е «-(•-] —— =

dr / UJ (4л?о^2

= -83 эВ.

3. На примере свободной частицы показать, что существует соотношение неопределенностей для энергии и времени.

Решение. С помощью суперпозиции плоских волн для свободной частицы с волновыми числами в интервале Ак и частотами в интервале До можно построить волновой пакет протяженностью Дх. Если Д/ — время, за

которое пакет проходит расстояние Дх, то Д/ = — , где v- — — скорость

v Ак

частицы. Неопределенности Ак соответствует разброс импульса Ap = hAk . Т огда Ар Ах as hAkAlv as Д/Д/io)» AlAE as И.

4. Показать, что расчет резерфордовского сечения рассеяния а-частиц можно проводить классически.

Решение. В данном случае L~ay где а — размер атома. Из (1.103) получаем, что энергия а-частицы должна удовлетворять неравенству

Ея>Ь2/2та2 = 0,2эВ . В опытах Резерфорда использовались а-частицы с энергией порядка нескольких МэВ.

5. Найти оптимальный размер шели на диафрагме, при прохождении которой пучок дифрагированных электронов имеет минимальную ширину на экране, расположенном на расстоянии L от диафрагмы.

Решение. Ширина пятна на экране равна d = a + 26х, где а — ширина щели, а = Ах ; величина 6х % ?0 вызвана дифракционным расплыванием пучка; 0 — угол дифракции, Q&Ap/p ; Ар — изменение импульса электронов при дифракции на щели. Используя (1.96), получаем 0«А/ра = /а. Таким образом, d ыа + L/a. Эта величина минимальна при ширине щели Лтт Минимальный размер пятна на экране dmin « 2VxZ . Например,

при ? = 100см, Xе МО-8 см размер пятна оказывается достаточно малым: dm. «0,02 мм.

ГП1П 1

6. Оценить минимальную кинетическую энергию протона, необходимую для исследования структуры ядер (характерный масштаб г~ 10"13 см) и структур с размерами г ~ 10“17 см.

Решение. ?Kinin = cyjp2 + (тс)2 -тс2. Определим импульс с помощью соотношения неопределенности. Тогда ?Kmjn = mc2 yjl + (л/г)2 -1 , где

Л = h/mc - комптоновская длина волны. ?Kmjn «600 МэВ ; 8,2 ГэВ.

7. Почему в ЭЛТ телевизора не проявляются волновые свойства электронов?

Решение. Энергия электронов в трубке около 20 кэВ, т. е. X* 10-9 см. Диаметр электронного пучка d~ 10_2см. Таким образом, выполняется условие (1.102).

  • [1] Микрочастицы не могут находиться в состоянии полного покоя, так как это означало бы точное одновременное определение их
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >