ФОРМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА И ИХ РЕШЕНИЕ

В качестве известных независимых переменных в уравнениях установившегося режима могут выступать задающие токи узлов и напряжение базисного узла. В этом случае решение уравнения (3.28) может быть записано в виде

Здесь Z - матрица узловых сопротивлений.

Численное решение (3.28) выполняется методом Гаусса или другим методом решения системы линейных алгебраических уравнений.

В случае если известны мощности в узлах сети - задающие мощности Sj, то токи можно вычислить приближенно:

. Задающие мощности, так же как и

токи, складываются из мощности генерации и мощности нагрузки:

Другой приближенный подход связан с представлением задающих токов через напряжения и проводимости 7f =-С/,. , где

YSj - проводимость нафузки или/и генерации (схема замещения). Для /-го узла имеем:

Объединив подобные члены, получим

где в элемент Г„ входит проводимость YSi. Знак перед этой проводимостью зависит от того, какая мощность преобладает в узле: плюс, если нагрузка, и минус, если генерация. В матричной форме записи

Решение матричного уравнения (3.33) запишется в виде

Комплексную матрицу узловых проводимостей Y иногда представляют в блочной форме через ее вещественную G и мнимую В составляющие, и тогда система уравнений (3.33) становится системой с вещественными величинами:

После перемножения двучленов в (3.35) будем иметь

Приравняем отдельно вещественные и мнимые части полученного уравнения и получим два матричных уравнения с вещественными величинами:

или в компактной форме:

Решение (3.38) запишется в виде

Пример 3.2. Рассчитать напряжения в узлах и токи в ветвях схемы электрической сети, граф которой показан на рис. 3.7. Исходные данные для расчета и расчет представлены в системе Mathcad.

ORIGIN := 1

Единицы измерения kamp = 1000 amp kvolt = 1000 volt

Исходные данные

Напряжение базисного узла Uq := 222-kvolt Модель электрической сети

1. Составление матрицы инциденций узлов и ветвей М

2. Формирование диагональной матрицы проводимостей ветвей Y

3. Составление матрицы-столбца проводимостей ветвей, связывающих узлы схемы с базисным узлом Y()

4. Получение матрицы узловых проводимостей Y Решение

1. Решение системы линейных уравнений установившегося режима методом обратной матрицы

2. Расчет других параметров режима сети

3. Проверка результатов: сумма задающих токов должна быть равна току балансирующего узла с обратным знаком

3.5. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА

Так как во многих случаях расчеты ведутся при заданных мощностях нагрузок и генерации, то их следует ввести в уравнения установившегося режима.

Мощность в трехфазной сети в симметричных режимах выражается суммарной мощностью всех трех фаз:

В матричной форме это выражение можно записать, используя операцию диагонализации матрицы U. Матрица diag{U} есть квадратная матрица, в которой элементы матрицы U расположены по главной диагонали, а вес остальные элементы равны нулю. Тогда

Уравнение установившегося режима

записано для фазных токов и напряжений. Умножим обе части этого уравнения на 7з и применим к величинам этого уравнения операцию сопряжения, получим

В левой части этого уравнения после умножения на л/З напряжения стали линейными.

Умножим левую и правую части уравнения (3.42) слева па матрицу diag{U}, получим

Система уравнений (3.43) является системой нелинейных уравнений установившегося режима. В зависимости от формы представления комплексных величин применяют две основные формы этой системы уравнений: алгебраическую и тригонометрическую.

В начале рассмотрим алгебраическую форму записи. Для /-го узла имеем:

После перемножения двучленов и разделения уравнения на два уравнения с вещественными величинами получим систему 2(п - 1) алгебраических уравнений.

Здесь /= 1,п - 1.

Тригонометрическая форма нелинейных уравнений установившегося режима может быть получена, если комплексные величины в уравнении (3.39) записать в виде

тогда

Уравнение (3.47) в тригонометрической форме запишется как

и после разделения на два вещественных уравнения получим

Обычно вместо угла |/,у используют дополняющий до 90° угол а,у, а,у = 90-у,,, у,у =90-а,у.

Тогда cos(6, -бу — v|/,y) = cos(6, — б7 -90° + а,у ), а с учетом четности функции cos (5,- - 6у - 90° + ) = cos (90° - 6, + 5 у - а{/). Имея в виду, что cos(90°-|3) = sin(P), получим cos(90°-6, + б,-а(уj = = sin (б, -б +а,у).

Аналогично sin (5, -5у -v|/,y) = sin(5(- -б;- -90° + a,y) = sin(90°- -6,-+бу-a,yj, в силу нечетности функции синус. Так как sin(90°-Р) = cos(P), получим -sin(90o-5/+5y-aJy) = -cos(6/- -бу+а,у). Подставляя полученные соотношения в (3.49), будем иметь:

В полученной системе нелинейных уравнений установившегося режима искомыми переменными являются модули и фазовые углы, напряжений, в то время как в уравнениях (3.45) неизвестными являются вещественная и мнимая составляющие напряжений.

Пример 3.3. Рассчитать напряжения в узлах и потоки мощности в ветвях схемы сети, граф которой показан на рис. 3.7. Исходные данные для расчета и расчет представлены в системе Mathcad.

ORIGIN := 1 Единицы измерения:

Исходные данные Параметры ЛЭП:

Мощности нагрузок

Комплексы мощностей нагрузок узлов Задающие мощности узлов

Номинальное напряжение сети Напряжение базисного узла

Модель электрической сети

1. Расчетные параметры ЛЭП

2. Составление матрицы инциденций узлов и ветвей М

3. Формирование матрицы проводимостей ветвей Y(,

4. Матрица узловых проводимостей

5. Емкостные проводимости поперечных ветвей Yc

6. Корректировка диагональных элементов матрицы Y

7. Расширение матрицы узловых проводимостей путем добавления столбца для базисного балансирующего узла

Решение

1. Решение системы нелинейных уравнений установившегося режима Начальные приближения

Решающий блок Mathcad

Результат решения узловых уравнений в экспоненциальной форме записи

2. Расчет других параметров режима сети Напряжения в начале и конце ветвей и токи ветвей

Потоки мощности в начале и конце ветвей Потери мощности в ветвях

3. Проверка: сумма мощностей узлов, потерь мощности и зарядной мощности в сети должна быть равна мощности балансирующего узла:

Мощность балансирующего узла

Суммарная мощность сети совпадает с мощностью балансирующего узла.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >