Уравнение изменения гранулометрического распределения при измельчении
Не учитывая «ол. запишем упав пение f2.187} в виде
Введем функции распределения Р2 (I, t), R2 (l, /) и кумулятнвнук> функцию В2К (/, у, /), характеризующие интегральпые характеристики гранулометрического распределения:
где Р2 (I, t) определяет относительную массу частиц с размерами, меньшими I (интегральная характеристика «на минус»), а Л2 (/, /) — относительную массу частиц с размерами, большими I (интегральная характеристика «на плюс»); В2к (I, у» /) определяет вероятность образования частицы размером меньшим Z, при разрушении частицы размером у в момент времени t.
Кроме (2.193) — (2.195), будем учитывать соотношения вида
Преобразуем интеграл в уравнении (2.197) с учетом правила дифференцирования по параметру [45]:
Уравнение (2.200) описывает изменение во времени функции R2 (?, t) для непрерывного процесса измельчения в барабанной мельнице идеального перемешивания.
Для периодического процесса измельчения уравнение (2.200) записывается в виде
Уравнение (2.201) является обобщение*! уравнения кинетики измельчения Загустина (83], которое впервые получено в работе [84]. Покажем это, приняв в соответствии с [84], что
Подставив (2.202) в уравнение (2.201), после очевидных преобразований получим
где а и к — константы. Уравнение (2.203) и было предложено как главное уравнение кинетики измельчения в работе [84].
Если А2 (у, t) = ayv+1, то уравнение (2.203) примет более простой
вид
Решение уравнения (2.204) представляет собой распределение Розина—Раммлера [85, 86] в виде /?2 (?, I) = ехр (—&?"), где b = = а/, л = к + 1, Д2 (?, 0) = 1.
Запишем уравнение (2.200) в упрощенном виде. Для этого примем следующие допущения: 1) вероятность разрушения А2 (у» t) не зависит от размера разрушаемой частицы, т. е. А2 (у, t) = А2 (/); 2) вероятность образования частицы размером, меньшим ?, В2К (?, у? t) не зависит от размера у разрушаемой частицы, т. е. В2к (5, у, t) = = В2К (5, t).
С учетом принятых допущений уравнение (2.200) примет вид
Как видно из предыдущих выкладок, уравнение (2.205), применяемое во многих работах как экспериментальное 186—89] или выводимое из других соображений [90—95], получается строго аналитически на основе последовательного структурного упрощения уравнения баланса числа частиц обобщенной системы (1.89).
Обозначая К2 (?, t) = А2 (t) В2к (Е, t) и учитывая (2.193), окончательно получим
Решение уравнения (2.205) с начальным условием Я2 (?, 0) = = #2о (?* 0) будет иметь вид
Проверим решение (2.207) на выполнение условия (2.208) аналогично 188). Для этого найдем
Из (2.209) видно, что выполнение условия (2.208) возможно только в случае
Действительно, подставляя условие (2.210) в (2.209), получим
что п требовалось доказать. Кроме (2.210), для функции
К2 (?, t) введем еще одно условие:
Полученное решение (2.207) для плотности распределения F2 (?, /) содержит неизвестную функцию К2 (|, t). Кроме того, решение (2.207) не содержит режимных технологических переменных, влияющих на ход процесса измельчения в барабанной мельнице (влияние конструктивных параметров не учитываем). Как показывают исследования 186, 96], функция К2 (?, i) для барабанных мельниц зависит во времени от следующих переменных: мощности 7V, потребляемой барабаном мельницы; массы измельчаемого материала М2 в мельнице; плотности пульпы рп (смеси измельчаемого материала и несущей фазы); измельчаемости (твердости) измельчаемого материала v; начальной плотности распределения Ь (?, 0), которую считаем известной (измеренной), и продолжительности измельчения или среднего времени пребывапия I измельчаемого материала в мельнице:
В качестве уравнения для функции К2 (|, /) будем использовать уравнение прироста поверхности, полученное *в 197], в которое К2 (?, /) входит через решение (2.207):
где к — коэффициент, F (Л/2, рп) — функция, определяющая часть подведенной к барабану мельницы энергии, передаваемой измельчаемому материалу в единицу времени.
Уравнение (2.213) имеет не единственное решение 197]. Поэтому для определения К2 (?, t) необходимо аппроксимировать К2 (?, t) некоторым выражением и найти статистические связи параметров аппроксимации с режимными технологическими переменными измельчения. Будем использовать двухпараметрическую аппроксима-
где а, у — параметры аппроксимации.
Статистические связи а и у с режимными технологическими переменными Л/2, pm v выразим в виде линейной регрессии [96]
где . . ., 64, dlt . . ., dA — коэффициенты, определяемые по экспериментальным данным на этапе идентификации (см. § 3.10).
Для функции F (Мг, pn)i входящей в правую часть уравнения (2.213), используем полиномиальную аппроксимацию вида [96]
где плотность пульпы определяется выражением
а коэффициенты д,, . . ., дв определяются по экспериментальным данным (см. § 3.10).
