Способы аналитического описания сигналов

Широкое применение нашли два способа математического представления сигналов: спектральный и временной. Такое представление возможно вследствие принципа дуальности (от англ, duality — двойственность; например, двойственны сопротивление R и проводимость Y: R = 1 /У) частоты и времени, поскольку f = l/t.

При временном способе анализа сигнал отражают непрерывной функцией времени или совокупностью элементарных импульсов, следующих друг за другом через определенные интервалы времени. Временная форма представления сигнала позволяет определить его энергию, мощность и длительность. Спектральный способ представляет сигналы либо в виде взвешенной суммы гармонических составляющих, либо в виде суммы комплексных экспонент с частотами, обычно кратными друг другу (образующими арифметическую прогрессию).

Интегральное преобразование сигналов.

При ряде условий для функции u(t), описывающей сигнал во временной области (области определения) О—Г, существует интегральное преобразование

где j/(co, t) заданная функция (ядро интегрального преобразования). Здесь и далее комплексные характеристики обозначаются с точкой вверху или указанием среди аргументов мнимой единицы j (j = уГ-[ ).

Интегральное преобразование позволяет осуществить переход от временной области определения функции к области частоты.

Формулу, восстановливающую сигнал u(t) по известной комплексной функции 5(со), называют формулой обращения интегрального преобразования:

где ф(?, со) — базисная (basis) функция.

Выражения (2.2) и (2.3) устанавливают однозначное соответствие между сигналом u(t) и его спектром 5(со).

Комплексная форма представления сигналов. Часто при описании и анализе некоторых видов сигналов (в первую очередь узкополосных) бывает удобной комплексная форма их представления

где u(t)l ср(?) — соответственно модуль и фаза комплексной величины u(t).

Комплексная функция u{t) может быть также представлена в виде

где Re, Im — действительная и мнимая части комплексной функции.

Из формул (2.4) и (2.5) получим

По формальному аналитическому представлению сигнал может быть действительным или комплексным, т.е. состоящим из вещественной и мнимой частей. С помощью комплексных чисел удобно записывать синфазную (совпадающую но фазе с некоторым сигналом) и квадратурную (отличающуюся по фазе от этого сигнала на 90°) составляющие сигнала.

Векторное представление сигналов. Комплексную форму сигналов удобно отражать точками на плоскости — одна координата отражает действительную, вторая — мнимую часть. Тогда сложение сигналов станет сложением соответствующих сигналам векторов, а умножение — поворотом векторов на плоскости (с умножением их длин, равным модулям этих чисел; углы же, равные аргументам чисел, складывают). Последовательное возведение комплексного числа в степень становится вращением выражающего это число вектора вокруг начала координат. Проекция данного вектора на одну из осей координат будет представлять нарастающие, затухающие или же с постоянной амплитудой колебания — в зависимости от того, больше ли единицы модуль данного комплексного числа, меньше или равен ей.

Итак, при векторном представлении комплексный сигнал — это вектор на комплексной плоскости с действительной осью — осью абсцисс и мнимой осью — осью ординат (рис. 2.4). Вектор на плоскости вращается в положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой скоростью со0. Длина этого вектора равна модулю комплексного сигнала, угол между вектором и осью абсцисс — аргументу ф(?). Проекции вектора на оси коор-

Графическое представление комплексной формы сигнала

Рис. 2.4. Графическое представление комплексной формы сигнала

дипат равны соответственно действительной и мнимой частям комплексного значения сигнала.

На амплитудно-фазовой плоскости-диаграмме (на одной оси — амплитуда, а на другой — фаза) сигнал может быть представлен в виде точки, соответствующей концу вектора. Такое представление используют для описания видов модуляции в модемах.

Векторное представление сигналов базируется на функциональном анализе — разделе математики, объединяющем методы и подходы топологии, классического анализа и линейной алгебры и позволяющем создать аналитическую теорию сигналов. В геометрической форме элемент U в /2-мерном пространстве представляют в виде точки или вектора с координатами uv и2, ип. При такой интерпретации множеству сигналов ставят в соответствие линейное векторное пространство L.

Сигналы в этом пространстве изображают векторами и операции с сигналами заменяют операциями с векторами. Если число членов множества п стремится к бесконечности, то говорят о бесконечномерном пространстве L. Пространство L называется нормированным, если введена норма, т.е. определенное расстояние между началом координат и какой-либо точкой пространства. Для вещественного и комплексного сигналов, определяемых на интервале t{ — t2 (часто удобнее интервал обозначать как 0 — Т)> норма соответственно запишется следующим образом:

где u*(t) — сигнал, комплексно-сопряженный сигналу u(t).

Норма представляет собой геометрическую трактовку линейного пространства сигналов и по своему смыслу соответствует длине вектора сигнала.

Еще одним фундаментальным понятием линейного пространства сигналов является метрика. Пространство сигналов называется метрическим, если введен способ определения метрики — расстояния d(uy v) между двумя его элементами (здесь — сигналами), например u(t) и v(t).

Метрика — неотрицательное число, которое независимо от способа задания должно удовлетворять ряду известных в математике аксиом (для упрощения не приводятся). Метрика определяется нормой разности двух сигналов u(t) и v(t). В связи с этим используют такую аналитическую запись метрики пространства:

Пространство функций с равномерной метрикой (2.6) называют п-мер- ным евклидовым пространством. Если математические модели сигналов — комплексные функции, то приходим уже к комплексному линейному пространству.

Кроме нормы и метрики вводят скалярное произведение сигналов

Скалярное произведение сигналов (функций) обладает рядом свойств:

  • (Щ, и„) > 0;
  • (и, v) = (v, и);
  • • (а и, v) = а (и, v), где а — вещественное число;
  • (и + v, s) = (и, s) + (v, s).

Полное линейное пространство с квадратичной (степенной) метрикой называют вещественным гильбертовым пространством Н (по фамилии немецкого математика Давида Гильберта — David Hilbert).

При анализе комплексных сигналов можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение

такое что {и, v) = (и, ?>)*.

Для скалярного произведения сигналов справедливо фундаментальное неравенство КошиБуняковскогоШварца

Сигнал, описываемый выражением

есть «-мерный вектор линейного пространства (рис. 2.5).

Ортонормированная (т.е. ортогональная и нормированная к единице) система базисных функций (v-(?)} образует координатную систему в «-мерном евклидовом пространстве (частном случае гильбертова). Функции v,(?) представляют собой единичные векторы {орты), коэффициенты сп — про-

Векторное представление сигнала екции вектора сигнала и(!) на оси координат. Координаты вектора — скалярное произведение функций и(() и v,(!)'?

Рис. 2.5. Векторное представление сигнала екции вектора сигнала и(!) на оси координат. Координаты вектора — скалярное произведение функций и(() и v,(!)'?

Представление сигналов динамическими моделями. Применяют два способа динамического представления сигналов (рис. 2.6). Согласно первому способу в качестве элементарных сигналов используют ступенчатые функции, возникающие через равные интервалы времени Д (рис. 2.6, а). Высота каждой ступеньки (импульса) равна приращению сигнала па интервале А. При втором способе представления элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы длительностью Д. Импульсы примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис. 2.6, б).

Способы динамического представления сигналов (стрелками показаны направления изменения во времени элементарных слагаемых)

Рис. 2.6. Способы динамического представления сигналов (стрелками показаны направления изменения во времени элементарных слагаемых):

а - ступенчатыми функциями; б — прямоугольными импульсами

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >