Представление дискретных сигналов с помощью ^-преобразования

При математическом описании дискретных и цифровых цепей, устройств и сигналов широко применяется z-преобразование, играющее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральные преобразования Фурье и Лапласа для непрерывных сигналов.

z-Преобразование является одной из форм преобразования Лапласа и поэтому обладает аналогичными свойствами. По аналогии с преобразованием Лапласа (4.6) для непрерывного сигнала и(С) для дискретного сигнала {г/Д изображение по Лапласу определяется выражением

Обратное дискретное преобразование Лапласа заданной последовательности, аналогичное формуле (4.7), имеет вид

где ai — вещественная переменная на комплексной плоскости.

Изображения по Лапласу дискретных сигналов, в которые сомножителем входит экспоненциальный член ерЬЛ, являются трансцендентными функциями аргумента р, что существенно усложняет анализ. Его можно упростить, переходя к z-иреобразованию. Для этого в дискретном преобразовании Лапласа вводят новую переменную z = ерМ. Рассмотрим дискретную последовательность к) = и0> uv ..., содержащую отсчеты значений некоторого непрерывного сигнала u(t). Тогда на основании формулы (6.25) прямое z-преобразование определяется суммой ряда по отрицательным степеням комплексной переменной z:

Функция U(z) определена только для области переменной z, в которой степенной ряд (6.26) сходится.

Польза z-преобразования заключается в том, что математика непрерывно меняющихся величин разработана куда лучше дискретной, и преобразование это позволяет использовать всю мощь дифференциального и интегрального исчисления, алгебры и т.п. Имеются специальные таблицы, компьютерные программы и учебные руководства по решению задач с помощью этого преобразования.

Пример 6.11

Вычислим z-преобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала к} = (1, 1, 0,1, 0, 0, 0,...).

Решение

Применяя формулу (6.26) прямого z-прсобразования, находим

Широкое применение в теории связи находят экспоненциальные импульсные сигналы. Пусть имеется непрерывный сигнал u(t) = e~at> заданный своими отсчетами ик в точках t = kAt. Тогда 2-преобразование этого сигнала

является аналитической функцией от переменной z > e~at.

По аналогии с непрерывным преобразованием Лапласа для аналоговых сигналов (4.7) возможно отыскание исходной дискретной функции отсчетов ик но заданному изображению U(z). Для этого используют обратное z-преобразование

В правой части этого соотношения находится контурный интеграл, определенный для 2-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости, охватывающему начало координат. Отметим, что обход контура интегрирования проводится в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.

Пример 6.12

По 2-прсобразованию U(z) = z~2 определим отсчеты сигнала uk.

Решение

По формуле (6.28) запишем общую формулу для отсчетов дискретного сигнала

Воспользуемся известной в математике теоремой Коши о вычетах. Согласно основному положению этой теоремы имеем контурный интеграл вида

откуда находим отсчетные значения сигнала:

Итак, искомый дискретный сигнал имеет вид к} = (0, 0, 1, 0).

В цифровой технике важное значение имеет 2-преобразование дискретной свертки двух разных дискретных сигналов {ик} и т}. С помощью формулы (6.24) вычислим 2-преобразование линейной дискретной свертки этих сигналов:

где коэффициент п = т - k.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >