Преобразования Лоренца

Постоянство скорости света противоречит рассмотренному выше закону сложения скоростей. Согласно этому закону в рассмотренном в предыдущем пункте примере для разности времен срабатывания фотоэлементов мы должны были получить At = L/(c — v) в случае удаляющегося поезда и At = L/(c + v) в случае приближающегося.

Нарушение закона сложения скоростей не может быть связано с какими-либо специальными свойствами света, так как закон следует из преобразований Галилея, а они основаны лишь на свойствах пространства и времени. Постоянство скорости света означает, что преобразования Галилея, а следовательно, и представления о пространстве и времени, лежащие в их основе, неверны.

Обратимся снова к формулам (2.1). При выводе формул (2.1) предполагалось, что длина движущейся линейки совпадает с длиной такой же неподвижной, а движущиеся часы идут в таком же темпе, что и неподвижные. Утверждения такого рода должны основываться не на здравом смысле, а на опыте. И оказывается, что они неверны.

Координаты должны преобразовываться так, чтобы скорость света была одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Этого требования достаточно для получения правильных преобразований. Они имеют вид

Эти преобразования называются преобразованиями Лоренца. Как и преобразования Галилея, преобразования Лоренца удобно представлять в матричной форме.

Введем снова вектор (матрицу-столбец) X = f * j, определяющий

событие (на самом деле нужно было бы ввести столбец из четырех элементов, но поскольку координаты у, z не преобразуются, ограничимся двумя). Будем иметь

где L — матрица преобразований Лоренца:

где у = /-Jl-V*/с1. (В выражении для X мы вместо t ввели с/, что делает матрицу L симметричной.) Убедитесь, что формулы (2.15), (2.16) дают преобразования (2.14). Обратное преобразование будет иметь вид

с матрицей

При этом L~'L = LL~1 = / (единичной матрице). Для двух событий Хх, Х2 определим матрицу ДА" = Х2 — Xv Из формул (2.15) и (2.17) получим

Эти формулы связывают пространственные расстояния и временные интервалы, разделяющие два события, в системах К и К'.

Задача 2.3. У задней стенки движущегося со скоростью V вагона производится выстрел, и пуля попадает в переднюю стенку вагона. Длина вагона /, скорость пули v. Какое время пуля находилась в полете и какой путь она прошла в системе отсчета, связанной с землей?

Решение. Система К' связана с вагоном. В этой системе время полета пули АР равно At' = l/v. Пройденный путь Ах' = I. Формула (2.19) дает

или Дх = у(/ + VI/v), At = у (l/v + Vl/c1). Если скорость вагона много меньше скорости света, у = 1, Дх = / + VI/v, At = l/v, что согласуется со «здравым смыслом» и с преобразованиями Галилея. Но если скорость вагона приближается к скорости света, величина у может быть сколь угодно велика, и время А/ пролета пули в неподвижной системе может быть много больше величины //v, и сам полет пули с точки зрения неподвижного наблюдателя будет выглядеть как в замедленном фильме.

Результаты рассмотренной задачи показывают, что представления здравого смысла о пространстве и времени не всегда соответствуют действительности. Эти представления справедливы, если мы имеем дело со скоростями, много меньшими скорости света, при этом преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. При достаточно больших скоростях мы столкнемся с заметными отклонениями.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >