Свободное движение твердого тела
Возникает вопрос: как движется свободное твердое тело в инерциальной системе отсчета (свободное тело в кабине космического корабля)?
В общем случае движение твердого тела определяется законами
(3.81), (3.84).
Поведение свободного твердого тела определится двумя динамическими законами:
Кинематическим следствием первого является движение центра масс вдоль прямой с постоянной скоростью. Кинематические следствия второго установить сложнее. Пусть для простоты скорость центра масс равна нулю. Если момент импульса не равен нулю, тело вращается, но кинематика этого вращения зависит от структуры тензора инерции. Рассмотрим некоторые случаи.
1) Все три главных момента инерции равны: /, = /2 = /3 = /. Так будет, очевидно, для однородного шара, но не только. Для однородного куба это условие также будет выполняться. Толщину однородного диска можно подобрать так, что условие будет выполняться и для диска. Формула (3.86) для этого случая дает
Векторы момента и угловой скорости совпадают по направлению. Постоянство момента означает, что и вектор угловой скорости постоянен. Направление вектора угловой скорости задает ось вращения, которая не изменяется. Тело может устойчиво вращаться вокруг любой оси, проходящей через центр масс.
2) Все три главных момента различны. Если вектор L совпадает по направлению с одной из главных осей инерции, то
вектор угловой скорости постоянен, ось вращения совпадает с главной осью и не изменяется со временем. Если вектор момента не совпадает ни с одной из главных осей, ось вращения сложным образом меняет свое положение относительно тела.
3) Один из главных моментов равен нулю, два других совпадают (ротатор). Пусть /, = 0, /г = /, = /. В этом случае
Вектор угловой скорости ортогонален оси ротатора и не изменяется со временем. Ротатор устойчиво вращается в плоскости, ортогональной вектору L (пример — гантель, тонкий стержень).
4) Все главные моменты отличны от нуля, два из них совпадают (осесимметричный волчок). Тело обладает осью симметрии. Пусть
вектор / — вдоль оси симметрии, векторы j,k — произвольны. Имеем:
Выражение в скобках в правой части равенства дает составляющую угловой скорости, ортогональную оси симметрии тела. Обозначим этот вектор й,. Получим
Все три вектора в равенстве (3.92) лежат, очевидно, в одной плоскости. Вектор L постоянен (не меняет ориентации в пространстве),
вектор / «вморожен» в тело (он лежит на оси симметрии). Если тело вращается, этот вектор вращается вместе с ним. Имеем (см. п. 1.2.6):
Радиус-вектор г = я, начинающийся в центре масс, задает точку на оси симметрии тела. За время dt эта точка испытает перемещение dr = w х /г At. Этот вектор ортогонален плоскости, в которой лежат векторы /, со, Z, и тем больше, чем дальше точка отстоит от начала координат. Это означает, что ось симметрии волчка прецессирует
вокруг вектора L (описывает круговой конус, осью которого является прямая, на которой лежит вектор L (рис. 3.4)). Найдем скорость этой прецессии. Конец вектора г = г/, лежащего на оси симметрии, описывает окружность. Радиус этой окружности равен
Рис. 3.4
г sin а, где а — угол между векторами /, L. За время At конец вектора г пройдет по окружности дугу ds = (rsin а)й d/, где й — та самая угловая скорость прецессии. С другой
стороны, ds = |dr| = |йх /'|r d? (см. выше). Выразим угловую скорость через момент импульса. Пусть п — единичный вектор вдоль вектора й,. Формула (3.92) примет вид
Умножая (3.94) скалярно на i, находим
умножая на п:
Таким образом,
(Этот результат можно было немедленно получить из формулы (3.90), написав ш = I~'L и найдя обратную матрицу тензора инерции.) Возвращаясь к нашей проблеме, пишем:
(учтено, что / х / = 0). Таким образом, для скорости прецессии получаем
Этот результат можно было получить, разложив вектор ш на составляющие вдоль L и вдоль оси симметрии тела. Первая из них и была бы скоростью прецессии (почему?). Полезно проделать это самостоятельно.
Задача 3.22. В кабине космического корабля парит диск, вращающийся вокруг своей оси со скоростью п. В диск попадает пуля перпендикулярно плоскости диска на расстоянии b от оси и застревает в нем. Как будет двигаться диск после этого? Радиус диска R = 15 см, толщина h- 10 см, масса Л/ = 5 кг, масса пули т = 10 г, скорость пули v = 300 м/с, b = 5 см, п = 10 об/с.
Решение. Систему координат выберем так, что ее начало совпадает с центром масс диска, траектория пули параллельна оси х, пуля движется в плоскости хОу.
Импульс системы пуля—диск сохраняется и равен Р = mvi. Центр масс системы движется со скоростью
и эта скорость не меняется при столкновении. Займемся моментом импульса, который также, очевидно, сохраняется. Диск представляет осесимметричный волчок, его главные моменты инерции даются формулой (3.88). Момент импульса системы складывается из орбитального момента пули (ее собственным моментом пренебрежем) и собственного момента диска: L = mvbk + / /,со0. Когда пуля застрянет в диске, мы получим твердое тело с указанным моментом импульса. Поскольку масса пули много меньше массы диска, будем считать, что моменты инерции этого тела те же, что и у диска, и применима формула (3.96). Таким образом, ось диска начнет прецессировать вокруг направления вектора L с угловой
скоростью О = J(mvb)2 +(/1со0)2 //. Угол между осью диска и осью прецессии а = arctg(mv/>/I,co0) Подставляя числа, найдем, что центр масс диска будет двигаться со скоростью 0,6 м/с, скорость прецессии Q = 17,5 об/с, угол между осью диска и осью прецессии 0,6°.
