Система первой степени негрубости

Условиями грубости динамической системы в замкнутой области G являются следующие.

1. В замкнутой области G могут быть только грубые состояния равновесия (т.е. такие, для которых

ReX фО,Х характеристические корни).

  • 2. Могут быть только простые (грубые) предельные циклы, т.е. такие, для которых h Ф 0.
  • 3. Не может быть сепаратрисе, идущих из седла в седло.

Приведем несколько примеров негрубых систем.

Примеры бифуркаций системы первой степени негрубости. Простейшие негрубые системы — так называемые системы первой степени негрубости.

Как и прежде, рассматривается система (3.12). Кроме того, рассматривается 5-близкая к (3.12) измененная (возмущенная) система (3.12').

Определение 3.5. Говорят, что система (3.12) имеет первую степень негрубости в замкнутой области G, если:

  • 1) система не является грубой в G;
  • 2) Ve > 0 35 > 0: если для любой системы (3.12'), негрубой в G и 8-близкой к системе (3.12) до ранга 3, существует гомеоморфизм Г (топологическое отображение) G в себя, для любой точки MeG выполняется р(М, Г(М)) < 8 и траектории систем (3.12) и (3.12') отображаются друг в друга.

Как и ранее, введем в рассмотрение матрицу Якоби системы (3.12) в окрестностях особых точек системы

Доказывается, что если система (3.12) является системой первой степени негрубости, то она не может иметь в G состояний равновесия, для которых det/ = 0 и Sp/ = 0 одновременно, а также состояний равновесия, для которых det/ = 0, Sp/ Ф 0, //2)(1,0) = 0. Здесь, как всегда, мы считаем, что линеаризованная система рассматривается в окрестности особой точки (0; 0), а //2) имеет смысл правой части нелинейного уравнения (3.12), приведенного в окрестности особой точки к каноническому виду. Кроме того, в системах первой степени негрубости не может существовать особой точки, для которой det/ > 0, Sp/ = 0 и первая ляпуновская величина равна нулю.

Могут существовать и особые точки с det/ = 0, SpJ ф 0, //2)(1,0) Ф 0, которые не встречались среди рассмотренных ранее.

Очевидно, что характеристические корни такой системы — корни уравнения А,2 - XSp/ = 0 — равны нулю и Sp/ соответственно. С помощью неособого линейного преобразования система (3.12) в окрестности особой точки приводится к виду

где b = Sp/, а разложения функций fx, /2* по степеням ух, у2 начинаются с членов не ниже, чем второго порядка.

По теореме о неявной функции всегда существует решение функционального уравнения Ьу2 + /2*х, у2) = 0, так как

при ух - у2 = 0.

Обозначим это решение через у2 = <рх).

Пусть теперь У(г/,) = /1*(г/1,ф(г/1». Если /,(>„ у2) и /2(г/„ г/2) не имеют общего множителя, отличного от постоянного, то в разложении по степеням ух функций |/(z/t) существуют отличные от нуля члены:

где т> 2.

Теорема 3.10. Исследуемое состояние равновесия — следующего качественного характера:

  • 1) если dm > 0,/w — нечетное, то имеем седло;
  • 2) если dm < 0,т — нечетное, то имеем узел;
  • 3) о случае четного т имеем состояние равновесия с одним узловым и двумя седловыми секторами (рис. 3.5). При b > 0 узловой сектор неустойчив, при b < 0 — устойчив. Если bdm < 0, то траектории узлового сектора стремятся к нулю (при t —> +°о или -«> о зависимости от знака Ь) слева от оси Оу2 (рис. 3.5, о, г), о если bdm > 0 — справа (рис. 3.5, а, б).

Определение 3.6. Положение равновесия (1) в условиях теоремы 3.10 называется сложным седлом, (2) — сложным узлом, а (3) — седлоузлом.

Если система имеет канонический вид, то направления, по которым рассматриваемые траектории стремятся к нулю: 0, тс/2, л, Зя/2. Если канонического вида нет, то направления, возможно, отличаются от направления осей (см. рис. 3.5, г).

Продолжим рассмотрение типов особых траекторий, которые могут иметь место в системах первой степени негрубости. В подобных системах возможно существование замкнутых траекторий. К замкнутым траекториям первой степени негрубости относятся двойной (двукратный) предельный цикл и сепаратрисса, идущая из седла в то же седло (в последнем случае в седле Sr/ ф 0).

Назовем независимой особой траекторией первой степени негрубости каждую из следующих траекторий: а) состояние равновесия седлоузел (порядка 2);

  • б) сложный фокус первого порядка (L{ -t 0);
  • в) двойной предельный цикл;
  • г) сепаратриссу, идущую из одного седла в другое;
  • д) петлю сепаратриссы (сепаратриссу, идущую из седла в то же седло), причем SpJ(yl0, У20) * 0.
Схематическое изображение траекторий системы в окрестности различных седлоузлов на плоскости

Рис. 3.5. Схематическое изображение траекторий системы в окрестности различных седлоузлов на плоскости

Теорема 3.11. У системы первой степени негрубости не может существовать двух независимых особых траекторий первой степени негрубости.

В системе первой степени негрубости возможны лишь следующие бифуркации.

  • 1. Бифуркация состояния равновесия седлоузел:
    • а) разделяется на два грубых состояния равновесия;
    • б) исчезает (рис. 3.6).
  • 2. Бифуркация сложного фокуса:
    • а) становится грубым той же устойчивости;
    • б) становится грубым с противоположенной устойчивостью, при этом из него рождается предельный цикл той же устойчивости, что и сложный фокус.
  • 3. Бифуркация двукратного предельного цикла:
    • а) разделяется на два грубых — устойчивый и неустойчивый;
    • б) исчезает.
Преобразование седлоузла (а) в результате бифуркации — распад на две негрубые особые точки (б) или исчезновение (в)

Рис. 3.6. Преобразование седлоузла (а) в результате бифуркации — распад на две негрубые особые точки (б) или исчезновение (в)

  • 4. Бифуркации сепаратриссы, идущей из седла в седло:
    • а) сепаратрисса идет из седла в другое седло (рис. 3.7);
    • б) сепаратрисса образует петлю; в седле Sp/(yH), у20) Ф 0. Если о = SpJ < 0, то петля сепаратриссы устойчива, если а > 0, то петля неустойчива.
Бифуркация сепаратриссы, идущей из седла в другое седло

Рис. 3.7. Бифуркация сепаратриссы, идущей из седла в другое седло:

а — до бифуркации; б — после бифуркации

Возможны два случая бифуркации: обе сепаратриссы уходят из области петли сепаратриссы или рождается предельный цикл той же устойчивости, что и петля сепаратриссы (рис. 3.8).

  • 5. Последний тип бифуркаций в системе первой степени негрубости — бифуркация сепаратрисе состояния седлоузел. Возможны следующие случаи:
    • а) сепаратрисса L0 стремится к узлу, фокусу или предельному циклу. Бифуркации в этом случае очевидны — см. случай 1;
    • б) сепаратрисса седлоузла стремится к седлоузлу и при t —»+°°, и при t —>
    • —> —оо.

В случае 56 возможно разделение седлоузла на седло и узел (рис. 3.9) или исчезновение седлоузла, когда рождается предельный цикл той же устойчивости, что исепаратрисса седлоузла.

Возможные бифуркации петли сенаратриссы (а) (внутри малой петли сенаратриссы расположена особая гонка - неустойчивый фокус) — возникновение предельного цикла (б) и уход из области петли (в)

Рис. 3.8. Возможные бифуркации петли сенаратриссы (а) (внутри малой петли сенаратриссы расположена особая гонка - неустойчивый фокус) — возникновение предельного цикла (б) и уход из области петли (в)

Бифуркация петли сепаратриссы седлоузла (а) — разделение на две негрубые особые гонки (б) или исчезновение седлоузла (в) (из петли сепаратриссы в этом случае рождается предельный цикл)

Рис. 3.9. Бифуркация петли сепаратриссы седлоузла (а) — разделение на две негрубые особые гонки (б) или исчезновение седлоузла (в) (из петли сепаратриссы в этом случае рождается предельный цикл)

Легко видеть, что в системах первой степени нсгрубости нс может быть других бифуркаций.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >