Критерии Бендиксона и Дюлака отсутствия предельных циклов. Индексы особых точек

При качественном исследовании динамической системы важно знать, могут ли в каких-либо областях G содержаться замкнутые траектории (предельные циклы). К сожалению, общих критериев существования траекторий такого рода нет, есть лишь критерии, гарантирующие отсутствие замкнутых траекторий в области G.

Критерий Бендиксона.

Пусть в односвязанной области G выражение

не равно нулю тождественно и не меняет знак. Тогда в G не существует замкнутых контуров, составленных из траекторий.

Критерий Дюлака. Пусть (3{} у2) — однозначная дифференцируемая функция и выражение

не равно тождественно нулю и не меняет знака в односвязанной области G, ограниченной произвольными дугами (не траекториями и не дугами Р(г/1, у2) = 0). Тогда в G не существует закрытых контуров, составленных из траекторий.

Пример 3.1 (применения критерия Дюлака[1])

Рассмотрим систему Лотки — Вольтерры (3.6) или (3.7), описывающую различные типы взаимодействия между видами. В общем случае система имеет вид

где в зависимости от модели а$ могут иметь любой знак; а, и а2 положительны. Пусть также

В качестве множителя р выбирается функция р(дг, у) = ^ [1]у1 !, где степени k и / определены следующим образом:

Выполнив вычисления, получаем

Отсюда можно сделать важный вывод: в конечной части плоскости не может существовать замкнутых траекторий (циклов) при

Понятие об индексе особой точки. Пусть на плоскости (z/t, у2) дано векторное поле, например порождаемое правыми частями соответствующей динамической системы. Пусть также на плоскости дана замкнутая кривая, не проходящая через особые точки поля. На кривой выбирается произвольная точка М. Если точка М обходит кривую в положительном направлении, вектор поля при движении ее по кривой будет поворачиваться. Когда точка, обойдя кривую, вернется в исходное положение, вектор тоже вернется к исходному направлению, возможно, сделав один или несколько оборотов. Число оборотов вектора поля при обходе кривой называется индексом кривой. Знак индекса определяется заданной ориентацией плоскости.

Пусть 0 — неособая точка ноля. Тогда индекс всякой кривой, лежащей в малой окрестности 0, равен нулю.

Свойства индекса: при непрерывной деформации замкнутой кривой ее индекс не меняется, пока кривая не проходит через особые точки.

Индекс также не меняется при непрерывной деформации векторного ноля, если на кривой в любой момент времени деформации нет особых точек.

Определение 3.7. Индекс любой (малой) положительно-ориентированной окружности с центром в особой точке будем называть индексом особой точки.

Для вычисления индекса j особой точки имеем выражение

Теорема 3.12. Индекс замкнутой кривой S равен сумме индексов особых точек поля, лежащих внутри области D (S = dD).

Легко показать, что для простой особой точки (центр, фокус, узел, седло) индекс равен по абсолютной величине единице, в частности для узла и фокуса j = +1, для седла j = -1.

Для вырожденных особых точек индекс равен нулю.

О сосуществовании замкнутых траекторий и особых точек. Одна теорема на эту тему уже была сформулирована выше — о том, что внутри замкнутой траектории (предельного цикла) находится по крайней мере одна особая точка.

Кроме того, сумма индексов особых точек, расположенных внутри замкнутой траектории, равна +1.

Если внутри замкнутой траектории все точки простые, то число их нечетное, причем число седел на единицу меньше, чем число остальных особых точек.

  • [1] Баутин Я. Я, Леонтович Е. А. Указ. соч.
  • [2] Баутин Я. Я, Леонтович Е. А. Указ. соч.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >