Решение линейных жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений и вычисление матричной экспоненты

Рассмотрим один из наиболее простых численных методов решения жестких линейных систем ОДУ[1], основанный на представлении решения в явном виде

для линейных систем жестких ОДУ вида

Его численная реализация связана с вычислением матричной экспоненты. Использование для этого разложения в ряд Тейлора

представляется непригодным, так как простые оценки показывают, что по вычислительным затратам этот алгоритм сопоставим с методом Эйлера с шагом т|] В <1:

Теоретические основы и конструирование алгоритмов задач математической физики / под ред. К. И. Бабенко. М.: Наука, 1979.

Следовательно, для того чтобы k-и член разложения ряда Тейлора был по крайней мере порядка 0(1), необходимо выполнение условия

что соответствует условию устойчивости численного интегрирования задачи Коши с шагом т, таким что т||В|| < 1. Количество членов ряда при этом Лгт|| В || » 1, что также неприемлемо для решения.

Представим входящую в решение экспоненту в следующем эквивалентном виде:

При этом значение параметра р выбирают таким, чтобы

и можно было использовать ряд Тейлора с небольшим количеством членов. Действительно, в этом случае

что является вполне приемлемым при соответствующем выборе параметра р. В этом алгоритме сначала вычисляют матрицу

затем вычисляют D2/; путем последовательных перемножений матриц. При таком способе вычисления матрицы (матричной экспоненты) также имеется опасность, связанная с тем, что при некоторых р, А0, Л0 слагаемые, соответствующие мягкой части спектра, окажутся много меньше единицы (и, соответственно, слагаемых, соответствующих жесткой части). В этом случае предпочтение отдается представлению

а последовательность вычислений имеет вид

При этом на мягкой части спектра, поскольку т|Х;| 1, имеем

На жесткой части, поскольку теперь р небольшие и т|Л^|/2р » 1, получим оценку

что уже приемлемо для вычислений.

  • [1] 2 О свойствах матричной экспоненты (и в целом функций от матриц) можно прочитатьв работе: Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. 5-е изд. М.: Физматлит, 2010.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >