МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Отступая на шаг, ты находишь себя, затем перемещаешься — и теряешь себя.

У. Эко. Маятник Фуко

Примеры математических моделей. Основные понятия

Предварительные терминологические замечания. В настоящей главе речь пойдет о моделях, основанных на использовании так называемых запаздывающих дифференциальных уравнений. Это частный случай уравнений с отклоняющимися коэффициентами1. Синонимы для этого класса — функционально-дифференциальные уравнения или дифференциальноразностные уравнения. Однако мы предпочтем пользоваться термином «запаздывающее уравнение» или «уравнение с запаздыванием».

Термин «дифференциально-разностные уравнения» нам еще встретится в другом контексте при анализе численных методов для решения уравнений в частных производных и к содержанию данной главы отношения не имеет.

Пример экологической модели с запаздыванием. В книге В. Воль- терры[1] приведен следующий класс наследственных моделей, учитывающих не только текущую численность популяций хищника и жертвы, по и предысторию развития популяции:

Общая теория уравнений с отклоняющимся аргументом изложена в работах: Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М. : Мир, 1967; Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М. : Наука, 1972; Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984; ЭлъсгольцЛ. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.; Наука, 1971.

Система (7.1) относится к классу интегрально-дифференциальных моделей типа Вольтерры, К{, К2 некоторые интегральные ядра.

Кроме того, в литературе встречаются другие модификации системы «хищник — жертва»:

Формально в системе (7.2) нет интегральных членов, в отличие от системы (7.1), но прирост биомассы хищника зависит от численности видов не в данный момент, а в момент времени t - Т (под Т часто понимается время жизни одного поколения хищника, возраст половой зрелости самок хищника и т.п. в зависимости от содержательного смысла моделей). О моделях типа «хищник — жертва» см. также параграф 7.5.

Казалось бы, что системы (7.1) и (7.2) имеют существенно разные свойства. Однако при специальном виде ядер в системе (7.1), а именно 8-функции /?,(0 - t) = 8(0 - 7^), К2 - t) = 8(0 - Т2) (о 8-функции приходится говорить несколько условно, так как обобщенные функции определяются как линейные функционалы, а приведенная система нелинейная), система (7.1) переходит в систему

Очевидно, что система (7.3) устроена следующим образом: изменение численности популяции зависит не только от текущей численности, но и от численности предыдущего поколения. С другой стороны, система (7.3) есть частный случай интегрально-дифференциального уравнения (7.1).

Системы уравнений с запаздыванием типа (7.2), (7.3) широко применяются при моделировании биологических явлений. Как правило, это уравнения типа «хищник — жертва» или «паразит — хозяин» в различных модификациях. Их конкретный смысл может быть различным: от взаимодействия имаго и личинок насекомых до моделей гликолиза[2].

Линейное уравнение с запаздыванием (запаздывающего типа). Линейным дифференциальным уравнением запаздывающего типа с постоянными коэффициентами будем называть уравнение вида

где а, Ь,Т — постоянные; Т> 0;/— заданная (непрерывная) функция на К. Без ограничения общности в системе (7.4) можно положить Т= 1.

Очевидно, если задана функция x(t)y t е [-Г; 0], то возможно определить x(t) при t е [0; 1). Конечно, в системе (7.4) при этом имеется в виду x(ty(-+o (иРавая производная в нуле). Затем возможно определение х(С)

при t 6 [1; 2) и т.д. Такой процесс нахождения решения уравнения (7.4) называется методом шагов. Далее мы увидим, что, в отличие от задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, даже для линейного уравнения вида (7.4) решение имеет разрывы первой производной.

Теорема 7.1. Пусть ср(?) — непрерывная функция на отрезке [-Г; 0). Существует единственная функция д(ср, t), определенная на [-Т; +°о), совпадающая с ф на -Т; 0] и являющаяся решением уравнения (7.4) для t> 0. Если ф(?) имеет производную в точке t = 0, причем ф(0) = а<р(0) + /кр(-Т) + /(0), то производная 4'(ф|,_0 является двусторонней.

Доказательство. Определим функцию x(t) = ф(?) на |-7'; 0]. Тогда решение (7.4) можно записать на [0; 7] в виде

(применена формула вариации постоянных). Поскольку функция x(t) известна на [0; Т и непрерывна на этом интервале, то процесс (7.5) можно использовать и на [Г; 27]. Этот процесс можно продолжать неограниченно. Обратно, если функция х(?) удовлетворяет формуле (7.5) на [0; +°°), то она удовлетворяет и формуле (7.4). Второе утверждение теоремы непосредственно следует из уравнения (7.4). •

Заметим, что для получения решения с непрерывной производной в нуле нам потребовались дополнительные условия согласования. Продолжение x(t) влево по действительной оси как решения системы (7.4) требует большего числа ограничений на ф(?) и возможно не при любых функциях ф, /.

Как и в случае ОДУ, решение можно представить в экспоненциальной форме. Рассмотрим однородное уравнение (7.4):

Его решение ищем в виде eXt, тогда для показателей X получаем характеристическое уравнение

Уравнение (7.7) — трансцендентное и, вообще говоря, имеет бесконечное множество (комплексных) корней при произвольных a, b, Т. Различным корням уравнения (7.7) соответствуют различные линейно-независимые решения уравнения (7.6). Покажем, что кратным корням соответствует несколько решений исходного уравнения.

Рассмотрим функцию h(X) = X - а - Ье', тогда

Рассмотрим tne,J в случае п > 1. Подставив в исходное уравнение, имеем

Разложив (t - Т)п по формуле бинома Ньютона, заметим, что коэффициентом при tk будет C%hk(X). Но, так как X — корень кратности т, то №Х) = 0 для 0 < k < т - 1. Отсюда окончательно

где Хг — г-й корень уравнения (7.7); pr(t) — полином по t степени на единицу меньше, чем кратность корня Хг Сумма может быть конечной или бесконечной (в последнем случае требуется выполнение некоторых дополнительных условий1)-

Характеристическое уравнение (7.7) имеет большое значение при исследовании на устойчивость уравнений с запаздыванием. Подобные результаты получены и в случае систем линейных уравнений с запаздыванием.

Нелинейные уравнения и системы с запаздыванием. Устойчивость и периодические решения. В качестве примера нелинейного уравнения, имеющего экологический смысл и широко применяющегося в математической экологии, укажем так называемое уравнение Хатчинсона. Оно фактически представляет собой уравнение Ферхюлъста, в котором самоограничение (смертность) в данной популяции зависит от численности предыдущего поколения:

Очевидно, что уравнение (7.8) имеет решение y{t) = 1 (при начальном условии у - 1 на [-1; 0]). Выясним вопрос об устойчивости данного решения. Подставляя в уравнение (7.8) малые отклонения от единичного решения z(t) = 1 - y(t), получим

Данное уравнение исследовано в литературе[3] [4], где показано, что оно удовлетворяет ряду теорем о существовании периодических решений. При а = тт/2 происходит бифуркация Хопфа — из неподвижной точки рождается предельный цикл. Данный вывод делается из результатов анализа линейной части уравнения (7.9). Характеристическое уравнение для линеаризованного уравнения Хатчинсона имеет вид

Отметим, что изучение на устойчивость линеаризованного уравнения (7.8) есть исследование устойчивости стационарного состояния y(t) = 0. При этом получается А, = а > 0, стационарное состояние неустойчиво и бифуркации Хопфа не происходит.

Далее Дж. Хейл показывает, что уравнение (7.9) имеет ненулевое периодическое решение для каждого а > л/2. Кроме того, там без доказательства приведена теорема о существовании периодического решения (7.9) с любым периодом р > 4.

  • [1] Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.
  • [2] Колесов 10. С. Математические модели экологии: Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль : Изд-во ЯрГУ, 1979. С. 3-40; Швитра Д. В., Япчис Э. Некоторыеаспекты математического моделирования динамики уровня тиреоидных гормонов в крови //Математические модели в биологии и медицине. Вильнюс : Ин-т математики и кибернетикиАН Литовской ССР. 1977. Вып. 2. С. 146 172.
  • [3] См. работу: Беллман Р., Кук К. Указ. соч.
  • [4] См.: Хейл Дж. Указ. соч.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >