ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Обыкновенное дифференциальное уравнение называется линейным, если функция/линейна относительно всех фазовых переменных. Иными словами, дифференциальное уравнение вида

называется линейным дифференциальным уравнением (ЛУ). Здесь ал, а2, ..., а„, q определены и непрерывны на некотором промежутке / с М, /: G = = /х YY, У = М или С.

Теорема 1Л (существования и единственности решения для линейного дифференциального уравнения). Для любой начальной точки (?0, у0, ауд, ..., г/о”_1))еС соответствующая задача Коши имеет единственное решение, определенное на промежутке I (где определены и непрерывны все коэффициенты и свободные члены).

Любое другое решение этой задачи Коши является сужением указанного решения на меньший интервал (доказательство будет дано позднее исходя из более общих теорем).

Замечание 1.1. Эта теорема для нелинейных задач уже несправедлива.

Пример 1.1

Это контрпример, показывающий, что теорема 1.1 для нелинейных задач, вообще говоря, несправедлива.

Рассмотрим следующую задачу Коши. Требуется найти решение дифференциального уравнения

Условия Коши: у( 1) = 1.

Существует следующее решение, проходящее через точку (1; 1): у = -, t € (0; +°°).

Ясно, что оно не единственно. Например, существует решение у = у, t е (0,5; 5). Здесь единственность решения может быть на разных интервалах.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >