Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Посмотреть оригинал

Пикаровы приближения

Векторная запись нормальной системы. Пусть yt(t), у2(t), ..., y„(t) — неизвестные скалярные функции вещественной переменной t. Обо- ' У (t)

значим y(t)= ... . Производную от y(t) определим покомпонентно:

y'(t) = ... . Непрерывность и интегрируемость также будем ПОНИКЛ (О,

мать покомпонентно. Обозначим /(?, у) = fj(t, у{, ..., у„), j = 1, 2, ..., п,

' Ш,уУ

f(t,y)= ... . Тогда нормальная система (2.2) примет вид векторного

Jn(t>y),

дис|)с|>ере н ц иал ь н ого ура в н е н и я

в котором/— векторная функция,/: G —> У" ay(t) е У" — неизвестная векторная функция. В дальнейшем будем называть уравнение (2.3) «-мерным векторным дифференциальным уравнением, или для краткости просто дифференциальным уравнением. Решением дифференциального уравнения (2.3) будем называть всякую функцию у = ф(/), t е I, ф: I —> У", такую что ф'(/) = f(t, ф(/)) для любого tel. Множество у = {(/:, ф(/)): tel} будем, как и ранее, называть интегральной кривой.

Задача Коши в векторной записи выглядит следующим образом. Пусть (t, г/0) е G. Требуется найти решение уравнения (2.3), такое что

Определение 2.9. Говорят, что решение ф: /—> У" (векторного) дифференциального уравнения (2.3) с начальным условием (2.4) определено па максимальном промежутке существования, если задача Коши (2.3) — (2.4) не имеет решений, являющихся продолжением ф на больший интервал.

Очевидно, что решения, определенные на максимальном промежутке существования, являются максимально продолженными, или полными, решениями.

Отображение Пикара. Рассмотрим дифференциальное уравнение

заданное в некоторой области расширенного фазового пространства М"+). Пусть правая часть дифференциального уравнения (2.5) определена и дифференцируема (класса С1, r> 1) в области U расширенного фазового пространства: f/ci'xR".

Определение 2.10. Назовем отображением Пикара отображение А, переводящее функцию (p: I е К —> х е М" в функцию Лер: te /? —> х е R”, где

Геометрически переход от ер к Лер означает построение по кривой (ер) новой кривой (Лер), касательная к которой при каждом t параллельна данному полю направлений, но не на самой кривой (Лер) — тогда Лер было бы решением, — а в соответствующей точке кривой (ер). Имеем:

ер — решение с начальными условиями ф(?0) = х0 <=> ер = Лер.

Приближения Пикара. Последовательным приближением Пикара называются функции, определенные следующим рекуррентным способом:

Рассмотрим последовательность приближений Пикара, начав с ер = х0. Возьмем любую точку (t0, х0) е U. Цилиндр СИ - {?, х 11 -10 < а, х - х0 < Ь) при достаточно малых а и b лежит в области U. Обозначим через С и L верхние грани величин |ф и |о'| на этом цилиндре, где v' обозначает про- изводную v по х (т.е. матрицу Якоби). Верхние грани достигаются, так как цилиндр компактен: v

Рассмотрим конус К0 с вершиной (f0, х0), высотой а' и раствором С:

Если число а' достаточно мало, то этот конус целиком лежит в цилиндре СИ. Внутри цилиндра лежит также всякий конус Кх, полученный из К0 параллельным перенесением вершины в точку (?0, х), где |х - х()| < // при достаточно малом Ь'.

Будем считать, что а' и Ь' выбраны столь малыми, что Кх е СИ. Решение ср уравнения (2.5) с начальным условием <р(?о) = х будем искать в виде ср(?) = х + h{t, х).

Соответствующая интегральная кривая будет лежать внутри конуса Кх.

Метрическое пространство М. Рассмотрим всевозможные непрерывные отображения h цилиндра |х - х0| < Ъ t - ?0| < а' в евклидовом про(в частности, h(t0, х) = 0).

странстве R". Через М обозначим множество отображений, удовлетворяющих еще условию

Введем в М метрику, полагая

Теорема 2.3. Множество М, снабженное метрикой р, является полным метрическим пространством.

Доказательство. Равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций сходится к непрерывной функции. Если допредельные значения функции удовлетворяли неравенству (2.6), то и предельная функция удовлетворяет неравенству (2.6) с той же константой С.

Заметим, что пространство М зависит от трех положительных чисел а', //, С.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы