Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Посмотреть оригинал

Тонки покоя

Перечисление различных видов решений, задаваемых ими движений и соответствующих траекторий фазового пространства приведем в виде следующей таблицы соответствия (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Соответствие решений, движений и траекторий

Решение Ф,Уо(0

Движение Ф,(0

Траектория L,/o

1. Постоянное Ф, (t) = у0

Покой

{#о} — точка покоя

2. Периодическое. Существует 0) > 0, такое что

фл«+©)=фй)(0

Периодическое, или колебания

Замкнутая траектория (цикл)

Lф'/о('): «е[°;со]}

3. Непериодическое

Непериодическое, или переходное

Незамкнутая траектория

Теорема 4.1. Точка р е М является точкой покоя системы (4.1) тогда и только тогда, когда F(p) = 0.

Доказательство. Необходимость. Если р — точка покоя, то Ф(?, 0, р) = р, следовательно, F(p) = 0.

Достаточность. Рассмотрим постоянную функцию *F(?) =pyte М, где р удовлетворяет условию F(p) = 0. Ясно, что Т(?) — решение системы (4.1):

Это решение начинается в р в момент t = 0 в силу единственности решения задачи Коши, других решений с таким начальным условием не бывает.

Точку покоя автономной системы будем также называть особой, или стационарной, точкой данной системы уравнений.

Линеаризация автономных систем в окрестности точки покоя. Пусть р — точка покоя системы (4.1), это означает, что y(t) = р — решение системы (4.1), по определению точки покоя. В силу теоремы 4.1 это равносильно условию F(p) = 0.

Обозначим у = р + z. Тогда функция z(t) удовлетворяет следующему (векторному) уравнению:

Тогда

или

где _>о

1Де ||2|| z |-»0 и*

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений Переход от системы (4.2) к системе (4.3) называется линеаризацией.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы