ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Определение 6.1. Функция /: М —> С называется функцией-оригиналом, если она обладает следующими свойствами:

1) fix) = 0 при х < 0;

ь

2) существует интеграл J/(x)dx для любых конечных йиб;

а

  • 3) существуют такие постоянные М > 0 и а > 0, что |/(х)| < Меах при всех х. Ясно, что если f(x) и g(x) — функции-оригиналы, то:
  • 1) для любого се С cf(x) — функция-оригинал;
  • 2) Цх) ± §'(д) — функции-оригиналы;
  • 3) fix) ? g(x) — функция-оригинал;

X

4) Ф(д) = J /(s)ds — функция-оригинал.

о

Определение 6.2. Сверткой функций / и g называется функция, обозначаемая f * g и задаваемая равенством

Теорема 6.1. Свертка f * g функций-оригиналов fug является функцией-оригиналом, и верно, что

Доказательство. Из определения функции-оригинала следует, что f(s) = 0 при s < 0 и g(x - s) = 0 при s > х. Следовательно,

Из определения функции-оригинала также следует, что существуют такие постоянные М > 0, СТ( > 0, М2 > 0, ст2 > 0, что |/(х)| < Мхе°^,

|g(.r)|2ea2f.

Обозначим а = тах{а,, а2}. Тогда

х^

так как ех = +хх при х> 0. Теорема доказана.

Пусть f(x) — функция-оригинал, для которой выполнено неравенство |/(х)| < Меах. Рассмотрим область D комплексной плоскости D = {se С: Res > >а} и определим функцию

Определение 6.3. Функция F(s) называется изображением функции- оригинала /(х) при преобразовании Лапласа, или изображением f(x) по Лапласу. Мы будем писать /(х) F(s), или F(s) - Lf(x).

Теорема 6.2. Несобственный интеграл (6.1) сходится.

Доказательство. Для доказательства нам достаточно найти такую неотрицательную функцию g(x), что |/(х)е_зиг| < g(x) и существует конечный предел

Из определения функции-оригинала также следует, что существуют такие постоянные М > 0, о > 0, что |/(х)| < Меа'. Тогда |/(х)е~Х1'| < A7ewcHRcs)-v. Возьмем g(x) = Ме(ст_Кех>-1'. Из определения области D следует, что b = а - Res < < 0. Тогда

Теорема 6.3. Преобразование Лапласа линейно-, если /,(х) ь-> F,(s), Res > > су, и /2(х) I—> F2(s), Res > а2, а с,, с2 — постоянные, то с,/,(х) + c2f1{x) ь-> i-> c,F,(s) + c2F2(s), Res > шах{а,, а2}.

Доказательство. Утверждение теоремы следует из линейности интеграла.

Теорема 6.4 (смещения). Если/(х) ь-> F(s), Res > а, то еш/(х) F(.s - а),

Res > а + Rea.

Доказательство. При Res > а + Rea верны равенства

Теорема доказана.

<. [1. х>0,

Рассмотрим функцию Хевисайда 5, =1

[0, х<0.

При Res > 0 верно, что lim е~** =0. Поэтому

.V—Н-со

Таким образом, 5, (лг) i—> —, Res > 0.

_s_

Пример 6.2

Из примера 6.1 и теоремы смещения непосредственно следует, что

По формуле Эйлера cos(car) = --—-.

Из формулы (6.2) следует, что при Res > Re(ico) = 0 верно, что

Из линейности преобразования Лапласа (теорема 6.3) при Res > 0 следует, что Итак, cos(car)5,(x)i-» —-Res > 0.

S2 + (0-

eim _ g-iiox

По формуле Эйлера sin(oiv) =-—-.

Из линейности преобразования Лапласа (теорема 6.3) при Res > 0 следует, что

Итак, sin(cnXT:)81 (л~) t—> 03 , Res > 0.

s2 + со2

Рассмотрим функциюх5,(х). Так как для любого а > 0 найдется такое М> 0, что

х < Меах при всех х> 0, а для любого s е D = {.v ? С: Res > 0} можно найти такое о, что

+«>

0 < <т < Res, то интеграл J xe~"dx сходится при любом s 6 D. Вычислим интеграл: о

1

Итак, х6,(.г) и-» —, Res > 0.

_sf_

Точно так же, с помощью интегрирования по частям, доказывается, что и вообще х"51(л)|—Res > 0, при п = 1, 2, 3,....

Пример 6.5

Вычислим изображение функции — rsinpr. Очевидно, что интеграл

  • 1
  • j хе~** sinр.тdt сходится при любом s е D = {s е С: Res > 0}. Представим рассмат- 2Р о

риваемый интеграл в виде суммы:

Далее мы будем считать, что функция-оригинал f(x), как и все ее рассматриваемые производные, имеет предел при х, стремящемся к нулю справа. Эти пределы мы будем обозначать /(0),/'(0) и т.д.

Теорема 6.5 (о дифференцировании оригинала). Если у функции-оригинала f(x) есть производная /'(х), также являющаяся функцией-оригиналом, и /(.г) н» F(s), Re.v > о,, f'(x) н> /-Дх), Res > о2, то

где Res > тах{а1; а2}

Доказательство. Применяя формулу интегрирования по частям, получим

что и требовалось доказать.

Используя формулу (6.3), мы можем теперь находить изображения старших производных от функций-оригиналов. Например, если /(х) н> ь-> F(s),f'(x) м> /’|(s), то, дважды применяя формулу (6.3), получим

Если f(x) I—> F(s), f"(x) i-> F2(s), to, применяя формулы (6.3) и (6.4), получим

И вообще, если f(x) н-> F(s), f("~lXx) i-> /r„_1(.v), то

Теорема 6.6 (запаздывания). Flycmb fit) — функция-оригинал и f(t) н» F(.s), t0 > 0. Тогда e~'<>sF(s).

Доказательство. Функция f(t - tf), очевидно, является оригиналом, если f(t) — оригинал. По определению преобразования Лапласа находим

Первый интеграл обратится в нуль, так как при t < ?0, естественно, t -1{) < < 0 и поэтому fit - f0) = 0. Во втором интеграле сделаем замену переменной t = т + t0:

что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь задачу, обратную задаче нахождения изображений для функций-оригиналов, а именно задачу нахождения функции-оригинала по заданному изображению. Остановимся на вычислении оригиналов правильных рациональных дробей.

Определение 6.4. Функции вида

где Pmis) и Qn(s) — многочлены от s степеней тип соответственно, называются дробно-рациональными функциями, или рациональными дробями. Если т <п, то дробно-рациональная функция (6.5) называется правильной. Дробно-рациональные функции вида

где А, В, а, Ь — вещественные числа, называют простейшими.

Известно, что любую правильную дробно-рациональную функцию можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы простейших.

Из приведенных теорем и примеров следует, что

Пример 6.6

5 55 + 10

Найдем функцию-оригинал изображения: a) F(s) =-; б) F(s)~---.

s-4 (5 — З)2 + 16

Решение. Мы будем искать функции-оригиналы при х > 0, поэтому множитель 5j(?) везде будем опускать.

  • 1
  • 5-4
  • б) Представим F(s) = F,(s) + F2(s), где

а) Так как еАх м>-то /(.г) = 54л.

Применение операционного метода позволяет сводить решение некоторых дифференциальных уравнений к решению простых алгебраических задач.

Пример 6.7

Решим задачу Коши у" - 4у + Зе = ех, у(0) = -1, //(()) = 2.

Решение. Будем считать, что х > 0. Обозначим искомое решение через у{х). Пусть у(х) ь+ У(5), тогда у'(х) = sY(s) - у(0) = 5У(5) + 1, у"(х) s2Y(s) - sy(0) - у'(0) =

= 52У(5) +5-2.

Применяя преобразование Лапласа к рассматриваемому дифференциальному уравнению и учитывая, что

или

приходим к следующему алгебраическому уравнению для У(5):

Тогда

Пример 6.8

Найдем решение задачи Коши x"(t) + x'it) = t, х( 1) = 2, х?( 1) = 3.

Решение. В этой задаче начальные условия заданы в точке t = 1. Чтобы применить операционный метод для решения этой задачи, удобно перейти к новой переменной: т = ?- 1, тогда x(t) =х(х + 1). Пусть .г(т+ 1) =а,(т), тогда задача перепишется в виде

и если xt(x) ь-> Х,(л), то получим уравнение в изображениях

Следовательно,

решая которое, находим

Разложим рациональную дробь на простейшие:

Чтобы получить решение исходной задачи, осталось вернуться к старой переменной:

Преимущество операционного метода решения линейных дифференциальных уравнений перед классическими методами состоит в том, что, не получая общего решения дифференциального уравнения, сразу получаем решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Однако этот метод применим также и для нахождения общего решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Пример 6.9

Найдем общее решение дифференциального уравнения

Решение. Для нахождения общего решения рассмотрим задачу Коши для данного уравнения с начальными условиями х(0) = С,, х'(О) = С2, гДе ~ про-

извольные постоянные. Уравнение в изображениях, соответствующее этой задаче Коши, имеет вид

При решении задачи Коши операционным методом иногда бывает удобно не выписывать в явном виде изображение функции, стоящей в правой части уравнения, а воспользоваться теоремой 6.1 умножения изображений. Это необходимо, если изображение правой части уравнения не может быть найдено в явном виде.

Найдем решение задачи Коши x(t) + x(t) = Зе~(2> .г(0) = 1,^(0) = 2.

Решение. Пусть x(t) X(s), функция Зе~(2 является оригиналом, обозначим ее изображение через F(s). Тогда уравнение в изображениях принимает вид

Решив его, найдем Х($):

Оригиналом изображения S + “ , очевидно, является функция cosx + 2sinx

s- + 1

Для восстановления оригинала функции F(s)—— применим теорему 6.1. По-

SZ+

2 1

скольку 3е~'~ F(s), sin?b-> ——, оригиналом произведения функций является

Sz + 1

свертка: Зе~{2 *sin t. Таким образом, решением задачи Коши является функция:

Замечание 6.1. Отметим, что полученный интеграл не выражается через элементарные функции.

Дадим определение решения дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее некоторым заданным начальным условиям, причем функция f{t) имеет конечное число точек разрыва первого рода.

В этом случае будем называть функцию x(t) решением дифференциального уравнения (6.6), если:

  • 1) x(t), х'(t), ..., т<и_1)(?) — непрерывные функции;
  • 2) Jt<")(?) имеет конечное число точек разрыва первого рода, совпадающих с точками разрыва функции /(?);
  • 3) равенство (6.6) верно во всех точках непрерывности функции x(n ).

Найдем решение задачи Коши х'(?) - x(t) = f(t), ,r(0) = 0, где

Решение. Пусть х(?) ь» X(s). Найдем изображение правой части нашего уравнения с помощью теоремы запаздывания:

Перейдем от исходной задачи к уравнению в изображениях:

Следовательно,

5

Разложим рациональную дробь-на простейшие:

ф-1)

Получаем А = -5, В = 5. При восстановлении оригинала опять воспользуемся теоремой запаздывания и получим

Можно легко проверить, что x(t) является непрерывной функцией, а ее производная в точке ? = 3 имеет разрыв первого рода. Действительно,

Рассмотрим один важный класс линейных дифференциальных уравнений — линейные уравнения с аналитическими коэффициентами. Пусть в уравнении

коэффициенты Р(х)> р2(х)> ...,рп{х) и функция q(x) разлагаются в степенные ряды:

сходящиеся в некоторой окрестности точки х0. Справедлива следующая теорема.

Теорема 6.7. Если ряды (6.8), (6.9) сходятся при х - х0 < г, где г > 0, то для любых чисел г/0, у'0,..., у^п~]) решение уравнения (6.7), удовлетворяющее начальным условиям

разлагается в степенной ряд

который сходится при х - х0 < г.

Заметим, что вследствие формулы Тейлора

Поэтому коэффициенты Л0, Л1? ..., Ап_{ определяются сразу из начальных условий. Для определения остальных коэффициентов используются два метода.

Первый метод состоит в том, что ряд (6.10) подставляют в уравнение (6.7), приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях - д:0) и из полученных уравнений последовательно находят коэффициенты Л„, Ля+1,....

Пример 6.12

Задано дифференциальное уравнение

Найдем разложение в степенной ряд общего решения с точностью до х4 в окрестности точки х0 = 0.

Решение. Фундаментальную систему решений У(х)> У2(х) будем искать как решения, удовлетворяющие следующим начальным условиям:

(l) (о)

Поскольку векторы , линейно независимы, построенные решения дей-

ствительно будут составлять фундаментальную систему решений.

2 1

Функции pi (х) =--, р2(х) =-разлагаются в ряды по степеням х, сходящи-

1-х 1-х

еся при х < 1. По теореме 6.7 решения У(х), у2(х) также будут разлагаться в ряды по степеням х, сходящиеся при |дг| < 1:

Из начальных условий находим Аq = 1, А =0, = 0, А( = 1.

Продифференцируем ряды (6.12) и подставим их в уравнение (1 - х)у" - 2у' + у = 0, равносильное уравнению (6.11) при хФ 1:

Приравниваем к нулю коэффициент при в левой части равенства (6.13):

откуда находим А = = 1.

Приравниваем к нулю коэффициент при хл в левой части равенства (6.13): откуда /Ц=-|, Л|=|.

Приравниваем к пулю коэффициент при х2 в левой части равенства (6.13):

л л? 3

откуда А , Л|=-.

Таким образом, разложения для функций у{(х), у2(х) имеют вид

где многоточия обозначают члены степенных рядов, содержащие х5, Xs и г.д. Получаем требуемое разложение общего решения уравнения (6.11):

Второй метод нахождения коэффициентов в разложении (6.10) состоит в последовательном применении равенств

вытекающих из формулы Тейлора. Так как искомая функция у(х) — решение уравнения (6.6), получаем равенство

из которого находим уМ(х0), а следовательно, и Ап.

Дифференцируем уравнение (6.6) по х и подставляем х = х0:

Все числа, входящие в правую часть этого равенства, уже известны. Из этого равенства находим z/(w+1)(x0) и ЛЛ+1. Продолжая дифференцировать уравнение (6.6), последовательно определяем Ап+2у Ап+з> ••• •

Пример 6.13

Задано дифференциальное уравнение

Найдем разложение общего решения данного уравнения в степенной ряд в окрестности точки Xq = 0 с точностью до х5.

Решение. Будем искать фундаментальную систему решений У(х)>у2(х) как решения, удовлетворяющие начальным условиям

Функции р{) = 0, р2(х) = х разлагаются в ряды по степеням х, сходящиеся при х < значит, и функции у{(х)у у2(х) по теореме 6.6 разлагаются в ряды, сходящиеся при х < оо. Из начальных условий следует, что = 1, А} = О, = О, А? = 1.

Из уравнения (6.14) получаем при х = 0 равенствоу'0) = 0. Отсюда А = 0, = 0.

Дифференцируем равенство у" = ху по х.

Подставляя в полученное равенство х = 0, находим у”0) = 1/(0). Поэтому у["(0) = 1,

г/2,(^) = 0, А1 =—, А? =0. Дифференцируем равенство (6.15):

6

При х = 0 получаем yIV(0) = 2у'(0). Отсюда y(v(0) = 0, y2v(0) = 2, А = 0,

Дифференцируем равенство (6.16): yv = xy'" + 3#". При л: = 0 имеем #v'(0) = Зг/"(0) = 0. Отсюда Aj = =0 и функции г/, (.г), г/20г') представляются рядами

где многоточия обозначают члены рядов, содержащие .г6, х7 и т.д. Общее решение уравнения (6.14) имеет вид

Операционный метод применяется и для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. По существу, метод интегрирования систем не отличается от метода интегрирования одного уравнения. В этом случае после перехода к уравнениям в изображениях получается система линейных алгебраических уравнений.

Пример 6.14

Найдем решение задачи Коши

Решение. Пусть x(t) м> X(.v), y(t) (-> Y(s), тогда система уравнений в изображениях имеет вид

или

Для ее решения удобно воспользоваться формулами Крамера:

Возвращаясь к оригиналам, находим решение исходной задачи:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >