Устойчивость по Ляпунову положений равновесия автономной системы разностных уравнений

Определение 7.16. Автономной системой разностных уравнений порядка п называется система вида

или в векторной форме

где xk — вектор-функция на N0; f(xk) — вектор-функция на R"

Определение 7.17. Всякое решение автономной системы разностных уравнений (7.24), являющееся постоянным вектором с п компонентами, называется положением равновесия автономной системы (7.24). Положения равновесия называются также неподвижными, или стационарными, точками системы.

Определение 7.18. Положение равновесиях* автономной системы (7.24) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого с > 0 найдется такое число 5 > 0, что для всех решений xk системы (7.24), для которых начальное значение х0 удовлетворяет условию |х0 - х*| < 5, верно, что xti - х* < 8 для всех k е Лг0. В противном случае положение равновесия х* называется неустойчивым.

Определение 7.19. Устойчивое по Ляпунову положение равновесия х* автономной системы (7.24) называется асимптотически устойчивым, если lim |х^ — х* | = 0.

Замечание 7.9. Заметим, что х* = 0 — единственное положение равновесия системы (7.21), если 1 не является собственным значением матрицы А. Это следует из того, что положение равновесия системы (7.21) является решением линейной алгебраической системы уравнений х = Ах.

Теорема 7.18. Пусть Xlf Х2, Xrnf 1 < т < п} — все собственные числа матрицы А. Тогда:

  • а) если 1^1 < 1 для всех i = 1,2, ..., т, то положение равновесия х* = 0 системы (7.21) является асимптотически устойчивым;
  • б) если существует хотя бы одно собственное число Xf такое что |Х| > 1, то положение равновесия х* = 0 системы (7.21) является неустойчивым.

Доказательство. Пусть xk решение системы (7.21), определяемое начальным условием х0 = и, где и — некоторый я-вектор. Тогда оно задается формулой (7.23). В случае a) xk —> 0 при k —> +°° При этом если k < < maxlrj, r2,..., г5}, где rl9 r2,..., rs — длины жордановых цепочек, образующих жорданов базис пространства R", то неравенство, требуемое в определении устойчивого по Ляпунову положения равновесия, достигается за счет выбора малого по модулю начального значения х0, т.е. за счет выбора произвольных постоянных в (7.23). В случае б) для любого начального значения х0 из формулы (7.23) следует, что хк—> °° при k —> +00.

Теорема 7.19. Пусть Х{2,...уХт, 1 < т < п, — все собственные числа матрицы А, и пусть | А,-1 < 1 для всех i = 1,2,т. Тогда:

  • а) если для каждого собственного числа X матрицы А, такого что |А| = 1, число линейно независимых собственных векторов равно кратности А, то х* = 0 является для системы (7.21) устойчивым по Ляпунову положением равновесия;
  • б) если существует хотя бы одно собственное число X матрицы А, у которого |А| = 1, и такое, что число линейно независимых собственных векторов меньше кратности X, то х* = 0 является для системы (7.21) неустойчивым положением равновесия.

Доказательство. В случае а) для тех X, для которых Х = 1, отсутствуют присоединенные векторы и поэтому отсутствуют в формуле (7.23) слагаемые, содержащие положительные степени k. Если |А| = 1 для всех X матрицы Л, то выполнение неравенства, требуемого в определении устойчивого по Ляпунову положения равновесия, достигается за счет выбора малого по модулю начального значения х0. Если же кроме собственных значений А, с Х = 1 имеются и собственные значения X с |А| < 1, то соответствующие им слагаемые в формуле (7.23) стремятся к нулю при k —> +°о и поэтому не могут вывести траекторию xk из окрестности х* = 0.

В случае б) всегда можно найти решение задачи Коши (7.25) с начальным условием х0 = г/, зависящее от положительной степени k и поэтому являющееся неограниченной функцией, k е N.

Замечание 7.10. Так как линейное однородное стационарное уравнение порядка п

где апФ 0, всегда можно свести к системе (7.21), то теоремы 7.18 и 7.19 имеют место и для уравнения (7.25), если под A,-, i = 1,2, ..., т, понимать различные корни уравнения Хп + ахХп~х + ... + ап = 0.

Например, для уравнения ук+2 + ук = 0 нуль является устойчивым по Ляпунову положением равновесия, а для уравнения г/^+2 - 4yk = 0 — неустойчивым положением равновесия; для уравнения yk+2 + Зг/^+1 + 2yk = 0 нуль является асимптотически устойчивым положением равновесия.

Рассмотрим автономную нелинейную систему (7.24) разностных уравнений порядка п. Пусть х* = 0 — ее положение равновесия, т.е. /(0) = 0, и пусть вектор-функция f(x) является непрерывно дифференцируемой для всех х е IRW.

Случай, когда х* — ненулевое положение равновесия системы (7.24), заменой xk = ук + х* сводится к нулевому положению равновесия для системы вида

Предположим, что матрица Якоби

является невырожденной. Тогда линейная однородная стационарная система порядка п

называется линеаризацией нелинейной системы (7.24) в окрестности положения равновесия х* = 0.

Теорема 7.20. Если все собственные числа X матрицы J по модулю меньше единицы, то нулевое решение является асимптотически устойчивым. Если же хотя бы для одного собственного значения X матрицы J модуль X больше единицы, то нулевое положение равновесия для системы (7.24) является неустойчивым положением равновесия.

Доказательство. Доказательство теоремы аналогично соответствующему доказательству для систем дифференциальных уравнений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >