СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Предварительные сведения. Винеровский процесс

Для того чтобы перейти к изложению одного из основных методов современного экономического анализа — методу реальных (или экономических, в отличие от финансовых) опционов, напомним основные сведения, касающиеся случайных процессов и стохастических дифференциальных уравнений.

Стохастический процесс развивается во времени таким образом, что хотя бы частично является случайным. Например, температура: ее изменение во времени частично детерминировано (увеличение в течение дня и падение ночыо, увеличение летом и уменьшение зимой) и частично случайно и непредсказуемо. Другой пример — цена компьютеров фирмы IBM: она колеблется случайным образом, но на длительном промежутке времени имеет ожидаемый положительный темп роста, который компенсирует инвесторам риск держания актива.

Стохастический процесс определяется вероятностным законом развития x_t переменной х во времени t. Таким образом, для данных моментов времени t_x2< t₃ и т.д. имеем или можем вычислить вероятность того, что соответствующие значения x_lf х₂, х₃ и т.д. лежат в некотором определенном диапазоне, например Р{а_{ <х_{<Ь_{,а₂<х₂<Ь_ь ...}. Напомним также строгие определения.

Определение 8.1. Пусть — заданное множество, тогда G-алгебра на ?2 есть семейство 3 подмножеств множества ?2 со следующими свойствами:

• 1) 0 е 3;
• 2) Fe 3 => F^cе 3, где F^c = ?2 F — дополнение множества F в ?2;

оо

3) А_{, А₂,... е 3 => А = (J А_х е 3.

i=i

Пара (?2, 3) называется измеримым пространством. Вероятностной мерой на измеримом пространстве (?2, 3) называется функция 3 —> [0; 1], такая что:

• 1) Р(0) = 0, Р(?2) = 1;
• 2) если i4j, А₂,... е 3 и {А_х }-lj — непересекающаяся система (т.е. Л_; п А_} =

^ оо Л оо

= 0 при i Ф]), то Р и A_i = X Р(А)- М=1 ) *'=1

Тройка (Q, 3, Р) называется вероятностным пространством.

При любом заданном семействе U подмножеств множества Q существует наименьшая а-алгебра Н_и> содержащая U, а именно Н_и = п {Н: Н есть а-алгебра множества Q, U с Я).

Н_и называется (5-алгеброй, порожденной семейством U.

Например, если U есть набор всех открытых подмножеств топологического пространства Q (в частности, Q = R"), то В = Н_и называется борелев- ской a-алгеброй на Q, а элементы Be В называются борелевскими множествами.

Пусть (tl, 3, Р) — заданное вероятностное пространство. Тогда функция Y: —> R” называется 3-измеримой, если Y~^X(U) = {(о е Q: F(w) е U) е 3

для всех открытых множеств U с Ш^п (или, что эквивалентно, для всех боре- левских множеств U с Ш^п).

Определение 8.2. Случайная величина X есть 3-измеримая функция X: Q —» R". Случайный процесс — это параметрический набор случайных величин определенных на вероятностном пространстве (?2, 3, Р) и принимающих значения в Ш^п.

Если АТ: О —> Ш^п — произвольная функция, то с5-алгебра Н_х, порожденная функцией X, есть наименьшая а-алгебра на Q, содержащая все множества вида Х~^{(1Г)_У множества U с R" открыты.

Нетрудно проверить, что Н_х = {Х~^{(В): В е ®}, где Ъ — борелевская а-алгебра на R^rl. Ясно, что функция X является //^-измеримой, а Н_х есть наименьшая а-алгебра, относительно которой X измерима.

Каждая случайная величина X порождает вероятностную меру ц_х на Rⁿ, определенную равенством р^В) ⁼ В(Х^_1(В)), которая называется распределением величины X.

Конечномерные распределения процесса X = {X₍}_teT— это меры 1 определенные на R^nk, k = 1, 2,..., формулами

где F_{, F₂,..., F_k — борелевские множества в Ш^п.

Семейство всех конечномерных распределений определяет многие (но не все) важные свойства процесса X.

Зафиксируем х е R" и определим

для у g Rⁿ, t > 0.

Для 0 < < <2 < ... < t_k определим меру v_{t tk} на R^nk соотношением

где используется обозначение dy = dy_x...dy_n для меры Лебега и применяется условие р(0, х_у y)dy = 5_х(у) (данная плотность соответствует единичной точечной массе, сосредоточенной в точке х).

называется броуновским движением, или винеровским процессом, начинающимся в точке х (как очевидно, Р'( ?_{) = х) = 1).

Определение 8.3. Случайный процесс {W_t}_f>₀ с конечномерными распределениями, заданными условием

Существование определяемых в данном параграфе вероятностного пространства (О, 3, Р) и винеровского процесса {^ф>о ^на ?2 гарантируется теоремой Колмогорова о продолжении^[1].

Теорема 8.1 (Колмогорова о продолжении). Пусть v,_{(>t >(} при всех t_v

t₂,.... t_ke Т, k е N, являются вероятностными мерами на R^nk, такими что

для всех перестановок а на {1, 2,..., к) и

для всех т е N, где прямое произведение в правой части имеет k + т сомножителей. Тогда существуют вероятностное пространство (Q, F, Р) и случайный процесс {Х₍} нй О, X,: О —> R", такие что

для всех tj ? Т, k е Мм всех борелевских множеств F_r

Приведем некоторые существенные свойства винеровского процесса.

Винеровский процесс W_t — это стохастический процесс в непрерывном времени, обладающий следующими свойствами.

• 1. Это процесс с независимыми приращениями, т.е. случайные величины Y = (W_tQ,W_t-W_tQ,...,W_tk-W_{tk i}) независимы в совокупности всякий раз, когда 0 < t₀< t, < t₂< ... < t_k.
• 2. Wo = x (если не оговорено противное, мы будем предполагать, что х = 0, т.е. будем считать, что W₀ = 0).
• 3. W_t - Wj е N(0; t- s),t> s, т.е. приращение процесса за конечный промежуток времени имеет нормальное распределение с дисперсией, которая возрастает пропорционально длине промежутка. Плотность распределения этого приращения

Очевидно, что винеровский процесс является марковским, т.е. распределение вероятности для всех будущих значений процесса зависит только от его текущего значения и не зависит от прошлых значений данного процесса.

Таким образом, если Z(t) — винеровский процесс, то приращение Z за время At можно представить в виде AZ = ?л/Д?, где е — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 0 и средним квадратическим отклонением 1.

• [1] Колмогоров Л. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.М.: Физматлит, 2009.