Задачи теоретических основ электротехники на решение стохастических дифференциальных уравнений

Рассмотрим последовательный /??С-контур, подключенный к источнику напряжения E(t). Заряд на емкостном элементе в момент времени t удовлетворяет дифференциальному уравнению

где L — индуктивность; R — сопротивление; С — емкость; /0 — ток в начальный момент, a E(t) — напряжение источника в момент t.

Предположим, что некоторые коэффициенты — скажем, правая часть уравнения — не являются детерминированными, а имеют вид

где «шум» представляет собой броуновское движение Wt с постоянным множителем а = const. Дифференциальное уравнение, коэффициенты которого могут быть случайными величинами, называется стохастическим дифференциальным уравнением. Введем вектор

и получим систему дифференциальных уравнений

или в матричных обозначениях

броуновское движение.

Перепишем полученное двумерное стохастическое дифференциальное уравнение (8.11) в следующем виде:

где для произвольной (п х га)-матрицы F определяем exp(F) как (п х п)-

~ 1

матрицу, задаваемую рядом exp(F) = У —F".

п=0П

Для решения дифференциального уравнения (8.12) воспользуемся двумерным вариантом формулы Ито (теорема 8.4). Применим его к функ-

ции g: [0; °°) х R2 ц2; задаваемой равенством g(t, XUX2) = exp (-At) 1 .

Х2;

Получим

Подстановка выражения (8.13) в формулу (8.12) дает или

Интегрируя по частям (теорема 8.3), получаем

Мы получили выражение для двумерного процесса X(t), первая компонента которого представляет собой заряд на емкости (на конденсаторе), а вторая компонента — ток в контуре в момент времени t. Как и в детер- министском случае, и заряд, и ток имеют как свободную, определяемую собственными частотами цепи, так и вынужденную составляющую, определяемую входным воздействием. Однако в нашем случае вынужденная составляющая реакции имеет как детерминированную, так и стохастическую составляющие.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >