П.1.5. Примеры решения задач на метод вариации и уравнение Бернулли

тт „ ,1

Найдем все решения уравнения у +у tgx =-.

cosx

Решение. Решим сначала методом вариации, т.е. ищем решение в виде Так как

имеем e_itgx = |cosx|.

Запишем для нашей задачи уравнение (П.5): откуда получаем 148

Интегрируя, находим

и подставляем в формулу (П.10), получая решение Теперь решим по формуле (П.2). Имеем

Сделаем проверку:

Пример П.6

ах

Решим уравнение у'-у-—.

х

Решение. Умножим левую и правую части уравнения на e>dx=e~x. Получим

1

или (уегхУ = —, откуда находим

Окончательно получаем

Пример П.7

Решим уравнение у' = г/4cosx + у tgx.

Решение. Это уравнение Бернулли. Перенося член у tg.r в левую часть и умножая обе части уравнения наг/4, приходим к уравнению

Введем обозначение г = г/-3. Тогда У = -3у 4у'. Делая подстановку, приходим к уравнению

или У + 3ztgx = -3cosx.

Записывая формулу (П.5) для нашего уравнения, получаем

гч ч -3 sign (cos х)

откуда С (х) =-г——.

cos2(x)

Интегрируя, находим

Подставляя найденное для С(х) выражение в формулу (П.11), получаем

и окончательно получаем

И еще в процессе решения уравнения Бернулли мы потеряли решение у = 0.

Пример П.8

, 4y + 2x2Jy Решим уравнение у =--—.

х

Решение. Это также уравнение Бернулли. Преобразуем его к виду

и умножим обе части на г/-1/2. Получим уравнение

Обозначим 2 = —Иг/1/2. Тогда г' = -2у л/2у'. Таким образом, наше уравнение приводится к виду

-—dx 1

Умножая обе части уравнения на е ^ = е~2|пМ - приходим к урав-

х2

нению

откуда 2 = -4т21п|ж| + Сх2. Окончательно получаем

И еще мы потеряли решение у = 0.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >