Метод Монте-Карло

Другим методом оценки или анализа чувствительности на основе компьютерной имитации является метод Монте-Карло, под которым понимают определенный метод решения некоторого класса экономических или математических задач, в которых те или иные параметры, в нашем случае факторы риска, моделируются в форме случайных величин. Этот метод основан на компьютерной имитации распределений этих случайных величин и формировании соответствующих оценочных показателей проектов на основе этих распределений. Он представляет собой имитационный метод анализа устойчивости, который исторически получил свое название по названию города, в котором располагаются известные игорные дома и казино. Термин «моделирование по методу Монте-Карло» был предложен американскими учеными С. Уламом и Дж. фон Нейманом в процессе работы в рамках известного Манхэттенского проекта. Первая статья по этой проблематике была написана в 1949 г.[1]

С одной стороны, метод Монте-Карло представляет собой определенную модификацию рассмотренного выше дискретного анализа чувствительности, поскольку речь идет об оценке влияния изменения параметров денежного потока на чистую настоящую стоимость п другие критерии оценки инвестиционных проектов. С другой — основное отличие от дискретного метода состоит в том, что в процессе применения метода Монте-Карло формируется некоторое распределение значений чистой настоящей стоимости проекта, ставки внутреннего процента, индекса доходности и других показателей, которое определяется в зависимости от имитируемых случайных распределений выбранных факторов риска. Это позволяет получать определенные оценки этого распределения в форме дисперсии, стандартного отклонения или коэффициента вариации по чистой настоящей стоимости или иному результирующему показателю, анализ которых позволяет сделать выводы об устойчивости будущих условий исполнения проекта, возможностях получения благоприятных или неблагоприятных результатов. Рассматриваемый метод основан на имитационном моделировании па компьютере случайных распределений выбранных параметров денежного потока — факторов риска, на базе которых формируется распределение показателей оценки рассматриваемого проекта[2].

При проведении расчетов по методу Монте-Карло предполагается, что известны значения всех параметров, определяющих величину отдельных компонентов денежного потока инвестиционного проекта. Для тех параметров, которые рассматриваются в качестве факторов риска, исходное значение принимается в качестве ожидаемого при моделировании случайного распределения этого фактора на ЭВМ.

Организационно метод Монте-Карло как метод имитационного компьютерного моделирования можно описать такой последовательностью основных этапов.

Этап 1. Определение основных показателей оценки инвестиционного проекта, но отношению к которым будет измеряться влияние факторов риска. К числу таких показателей могут быть отнесены: чистая настоящая стоимость проекта, ставка внутреннего процента, индекс доходности, период окупаемости или другие по желанию инвестора, предполагающего осуществить рассматриваемый проект.

Этап 2. Выделение параметров, рассматриваемых как факторы риска, которые будут моделироваться в форме случайных величин. Для их численной реализации предполагается проводить компьютерное моделирование на основе генераторов псевдослучайных чисел, встроенных в пакет Microsoft Excel, на основе заранее выбранной формы распределения. Для анализа выделяют те компоненты денежного потока, которые, по мнению инвестора, менеджера или эксперта в соответствующей области, оказывают наиболее сильное влияние на изменение выделенного показателя проекта, т.е. являются наиболее существенными факторами риска. В принципе можно рассмотреть как случайные все параметры всех компонентов денежного потока, но эго связано с тремя проблемами. Во-первых, увеличение числа выделенных случайных параметров может привести к противоречивым результатам вследствие коррелированное™ рассматриваемых реализаций случайных величин; во-вторых, это может потребовать больше времени для анализа полученных результатов и обоснования влияния отдельных факторов; в-третьих, останется невыявленным, какие именно факторы повлияли на результаты.

Этап 3. Выбор формы распределения случайных величин, на основе которых будет проведена компьютерная имитация их численной реализации. Он осуществляется на основе некоторых представлений о распределениях рассматриваемых показателей. В числе подобных распределений можно отметить: нормальное, логнормальное (чаще используется при моделировании параметров финансовых рынков), треугольное, равномерное и др. Нормальное, треугольное и равномерное распределения являются симметричными, и их использование опирается на предположение о симметричном распределении будущих результатов, хотя и с различной плотностью заполнения. Логнормальное распределение не является симметричным, и его применение опирается на предпосылку о том, что большая часть значений случайной величины сдвинута в определенную сторону относительно ожидаемого значения.

В данной книге при проведении экспериментальных расчетов по методу Монте-Карло при моделировании случайных величин — выбранных параметров денежного потока — используется нормальное распределение[3].

Этап 4. Имитационное моделирование случайных величин — выбранных параметров денежного потока. Для моделирования численной реализации соответствующей случайной величины используют встроенный генератор псевдослучайных чисел в опции «Анализ данных» меню «Сервис» пакета Microsoft Excel. В этом случае должно быть заранее задано ожидаемое значение рассматриваемого параметра и его стандартное отклонение, а также количество численных реализаций случайных величин, которые должны быть получены в течение одного цикла имитационных расчетов. Для подобных расчетов можно также применять специальные пакеты прикладных программ.

Если моделируется несколько случайных величин одновременно, то необходимо проверить отсутствие корреляции между каждой парой полученных их численных реализаций. Возможности использования при этом критериев проверки статистических гипотез поясним ниже.

Учитывая каждую полученную реализацию рассматриваемой случайной величины, а также параметры денежных потоков, которые предполагаются фиксированными, выполняются расчеты денежных потоков для каждой полученной реализации указанных случайных величин. Количество денежных потоков совпадает с выбранным числом реализаций этих величин. На основе этих денежных потоков происходит формирование распределения чистой настоящей стоимости проекта или других оценочных показателей рассматриваемого проекта в каждом цикле имитационных расчетов.

Этап 5. Определение характеристик распределения чистой настоящей стоимости проекта, полученного в результате одного цикла имитационных расчетов, в том числе ожидаемого значения чистой настоящей стоимости проекта, дисперсии и стандартного отклонения и других показателей полученного распределения данного показателя. К их числу можно отнести наибольшее и наименьшее значения чистой настоящей стоимости, коэффициент вариации как дополнительную характеристику распределения, вероятность реализации отрицательного значения чистой настоящей стоимости, т.е. невыгодного для инвестора результата исполнения проекта. В последнем случае указанная вероятность определяется как отношение числа отрицательных значений чистой настоящей стоимости в полученном распределении к общему количеству выполненных экспериментов в рамках одного цикла имитационных расчетов:

где k — число отрицательных значений чистой настоящей стоимости в полученной в процессе имитации выборке; т — количество проведенных имитационных экспериментов. Подобная оценка вероятности неблагоприятных исходов опирается на предположение о том, что вероятность каждого исхода в процессе одного цикла имитационного моделирования одинакова и составляет р = 1 /т. Аналогичные расчеты могут быть выполнены и для ставки внутреннего процента, индекса доходности, периода окупаемости.

При проведении расчетов можно использовать встроенные статистические функции пакета Microsoft Excel (табл. 1.12), которые задаются на распределении NPV или с помощью другого расчетного показателя, полученного в результате одного цикла имитационных расчетов.

Таблица 1.12

Используемые встроенные функции пакета Microsoft Excel

Расчетный показатель

Встроенная функция пакета Microsoft Excel

Ожидаемое значение NPV

СРЗНАЧ

Стандартное отклонение

СТАНДОТКЛОН

Вероятность отрицательного значения NPV

СЧЕТЕСЛИ

Максимальное значение NPV

МАКС

Минимальное значение NPV

МИН

Этап 6. Последовательное многократное повторение циклов имитационных расчетов, выполняемых по этапам 4 и 5, предполагающее последовательное формирование распределений значений чистой настоящей стоимости, а также соответствующих им наборов значений оценочных показателей, представленных на этапе 5.

Для проверки устойчивости полученных характеристик распределения чистой настоящей стоимости и повышения качества обоснованности выводов должно быть выполнено нескольких сот или тысяч циклов итерационных расчетов в режиме имитации.

Этап 7. Анализ основных результатов. Результаты применения метода Монте-Карло для анализа и оценки устойчивости проекта к выделенным факторам риска могут быть представлены в двух формах. Прежде всего речь может идти об анализе полученных в результате имитационных расчетов количественных значений показателей, характеризующих параметры полученного распределения чистой настоящей стоимости проекта или других оценочных показателей. К числу таких показателей можно отнести: ожидаемое значение чистой настоящей стоимости; дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации как меры риска; наибольшее и наименьшее значения чистой настоящей стоимости но полученной выборке; вероятность получения отрицательного значения чистой настоящей стоимости проекта. В процессе многократного повторения цикла имитационных расчетов можно построить среднее но данной выборке значение для каждого указанного показателя, рассматривая их как определенные ожидаемые характеристики воздействия факторов риска на условия исполнения данного инвестиционного проекта.

Анализ распределения значений указанных показателей, полученных в результате достаточно большого числа итераций, позволяет сделать определенные выводы об относительной устойчивости чистой настоящей стоимости проекта, ожидаемого значения и стандартного отклонения получаемого распределения NPV, вероятности получения отрицательного значения NPV проекта при условии изменения выделенных случайных величин в соответствии с выбранной формой их распределения. Эту устойчивость можно оценить визуально, построив графики выборочных значений указанных показателей, или с помощью соответствующих статистических оценок, определяемых на основе полученной выборки соответствующего показателя. Аналогичный анализ может быть выполнен и в том случае, если используются другие критерии оценки проекта.

Процесс анализа риска по методу Монте-Карло

Рис. 1.4. Процесс анализа риска по методу Монте-Карло

Другой формой результата компьютерной имитации или исследований по методу Монте-Карло могут быть различные графики. Речь идет о частотных гистограммах значений чистой настоящей стоимости, которые формируются в зависимости от частоты попадания имитируемых значений чистой настоящей стоимости в выделенные интервалы или группы ее значений, а также о графиках распределения вероятности отрицательного значения чистой настоящей стоимости или других оценочных показателей1.

Общая последовательность расчетов но методу Монте-Карло представлена на рис. 1.4. Соответствующие расчеты могут быть выполнены только на ЭВМ при использовании встроенных возможностей пакета Microsoft Excel или иных пакетов прикладных программ.

Покажем возможности реализации метода Монте-Карло и особенности анализа полученных результатов на основе следующего условного примера. Все исходные данные но рассматриваемому проекту приведены в табл. 1.13.

Таблица 1.13

Исходные данные по проекту

Показатель

Период

0-й

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

Коэффициент использования мощностей, %

60

80

95

95

95

Максимальный объем выпуска, ед. изд.

8500

8500

8500

8500

8500

Ожидаемая цена реализации, руб.

30

30

30

28

28

Стандартное отклонение цены реализации, руб.

2

2

3

3

3

Инвестиции, руб.

70 000

0

0

0

0

0

Условно-постоянные расходы, руб/год

7500

66 500

66 500

68 500

69 500

69 500

Условно-переменные расходы, руб/ед. прод.

14

14

16

17

17

Стандартное отклонение условно-переменных расходов

1

1

1

2

2

Выделим параметры и сформируем исходный денежный поток данного инвестиционного проекта. Расчеты компонентов денежного потока выполнены но формулам[4] [5]

где kt — коэффициент использования производственной мощности в году t М{ производственная мощность предприятия в году t pt цена продукции в период t ht — норма условно-переменных расходов в году t Н{ условно-постоянные расходы в период tyt= 1,2,..., ТТ — период исполнения проекта.

Результаты расчета исходного денежного потока но формулам (1.10) приведены в табл. 1.14.

В данном примере рассматривается компьютерное моделирование двух факторов риска: цены продукции во втором году и условно-переменных расходов в третьем году. Имитационное моделирование осуществляется на основе предположения о нормальном распределении обоих факторов.

Таблица 1.14

Параметры и денежный ноток инвестиционного проекта

Период

Инвестиции

Коэффициент использования мощностей, %

Максимальный объем выпуска, ед. изд.

Ожидаемая

цена

реализации,

руб.

Условно

постоянные

расходы,

руб/год

Условнопеременные расходы, руб/ед. ирод.

Денежный

поток,

руб.

0

-77 000

8500

0

7500

-84 500

1

-

60

8500

30

66 500

71 400

15 100

2

-

80

8500

30

66 500

95 200

42 300

3

-

95

8500

28

68 500

129 200

28 400

4

-

95

8500

28

69 500

137 275

19 325

5

-

95

8500

28

69 500

137 275

19 325

Для цены второго года в качестве ожидаемого или среднего значения выбирается 30 руб. (см. табл. 1.13), а стандартное отклонение полагается равным 2. Для условно-переменных расходов третьего года, соответственно, ожидаемое значение равно 16 руб. (см. табл. 1.13), а стандартное отклонение было выбрано равным 1. Оценка стандартного отклонения может быть получена на основе представлений о возможных интервалах колебаний соответствующего показателя. Так, если ожидаемое колебание цены реализации второго года составляет 6 руб. в обе стороны от ожидаемого значения, то, учитывая, что в условиях нормального распределения практически почти весь интервал составляет ±3а, приблизительная оценка стандартного отклонения в данном случае равна 6/3 = 2 руб. Аналогично могут быть получены и другие значения стандартного отклонения, приведенные в табл. 1.13.

При компьютерном моделировании случайной реализации обоих выбранных показателей были использованы встроенные возможности пакета Microsoft Excel по генерации псевдослучайных величин на основе нормального распределения. Каждый цикл имитационных расчетов включал в себя 100 итераций. Результаты одного цикла расчетов обоих случайных величин приведены в табл. 1.15.

Прежде чем выполнять дальнейшие расчеты, необходимо проверить гипотезу об отсутствии корреляции между обеими случайными величинами, распределения которых приведены в табл. 1.15. Для этого, используя встроенную функцию «КОРРЕЛ» пакета Microsoft Excel, рассчитаем выборочный коэффициент парной корреляции, значение которого составит rph = -0,10906, т.е. почти равно нулю. Для формальной проверки гипотезы

Имитация распределения случайных величин, руб.

Номер

итерации

Цена второго года, руб.

Условно-переменные расходы третьего года, руб/сд. прод.

Среднее значение — 30

Среднее значение —16

Стандартное отклонение — 2

Стандартное отклонение — 1

1

30,8533

16,4682

2

27,6198

16,6365

3

26,0788

16,8903

4

33,4015

15,1393

5

29,3164

16,4329

6

30,1528

16,1915

7

29,1653

16,9897

8

26,6050

16,4679

9

33,1624

18,0759

10

29,8535

17,7624

11

32,4493

16,8481

12

27,6368

14,9624

88

28,5436

16,8723

89

34,1772

17,5052

90

33,4540

17,0207

91

29,3795

16,3615

92

30,1515

17,8263

93

33,3732

15,8601

94

28,2183

15,7607

95

26,5998

16,1721

96

27,4505

16,6434

97

30,7694

15,6119

98

30,0813

15,5734

99

32,3315

17,1940

100

32,7551

15,7028

об отсутствии корреляции между рассматриваемыми случайными величинами необходимо построить статистику

где п - объем выборки, т.е. число итераций в одном цикле имитационных расчетов, и сопоставить ее со статистикой Са(п - 2), имеющей распределение Стъюдента сп-2 степенями свободы и доверительный уровень а. Учитывая указанное значение выборочного коэффициента корреляции и объем выборки п = 100, в данном случае получим:

что но модулю меньше соответствующего табличного значения квантиля распределения Стъюдента с 98 степенями свободы и доверительным уровнем 0,95, которое составляет 1,984. Это позволяет принять гипотезу Н0 с вероятностью ошибки первого рода, равной 0,05.

Используя полученные численные реализации цены второго года и условно-переменных расходов третьего года (см. табл. 1.15), а также заданные значения остальных параметров денежного потока (см. табл. 1.14), формируются денежные потоки инвестиционного проекта, соответствующие полученным значениям цен на каждой итерации. Расчеты выполнены но формулам (1.10). Всего сформировано 100 денежных потоков. Результаты расчетов приведены в табл. 1.16.

Таблица 1.16

Варианты денежного потока рассматриваемого проекта в рамках одного цикла имитационных расчетов, руб.

Номер

итерации

Период

0-й

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

1

-84 500,00

15 100,00

48 102,39

24 618,89

19 325,00

19 325,00

2

-84 500,00

15 100,00

26 114,93

23 260,01

19 325,00

19 325,00

3

-84 500,00

15 100,00

15 636,12

21 210,79

19 325,00

19 325,00

4

-84 500,00

15 100,00

65 430,02

35 349,96

19 325,00

19 325,00

5

-84 500,00

15 100,00

37 651,59

24 904,70

19 325,00

19 325,00

6

-84 500,00

15 100,00

43 338,79

26 853,38

19 325,00

19 325,00

7

-84 500,00

15 100,00

36 623,85

20 408,44

19 325,00

19 325,00

8

-84 500,00

15 100,00

19 214,01

24 621,65

19 325,00

19 325,00

9

-84 500,00

15 100,00

63 804,22

11 637,23

19 325,00

19 325,00

10

-84 500,00

15 100,00

41 303,99

14 168,80

19 325,00

19 325,00

11

-84 500,00

15 100,00

58 955,15

21 551,49

19 325,00

19 325,00

12

-84 500,00

15 100,00

26 230,52

36 778,78

19 325,00

19 325,00

88

-84 500,00

15 100,00

32 396,81

21 356,53

19 325,00

19 325,00

89

-84 500,00

15 100,00

70 704,84

16 245,33

19 325,00

19 325,00

90

-84 500,00

15 100,00

65 786,99

20 157,60

19 325,00

19 325,00

91

-84 500,00

15 100,00

38 080,60

25 480,98

19 325,00

19 325,00

92

-84 500,00

15 100,00

43 330,44

13 652,98

19 325,00

19 325,00

93

-84 500,00

15 100,00

65 237,93

29 529,48

19 325,00

19 325,00

94

-84 500,00

15 100,00

30 184,13

30 332,31

19 325,00

19 325,00

95

-84 500,00

15 100,00

19 178,76

27 010,39

19 325,00

19 325,00

96

-84 500,00

15 100,00

24 963,43

23 204,67

19 325,00

19 325,00

97

-84 500,00

15 100,00

47 531,89

31 533,73

19 325,00

19 325,00

98

-84 500,00

15 100,00

42 853,12

31 845,17

19 325,00

19 325,00

99

-84 500,00

15 100,00

58 154,04

18 758,68

19 325,00

19 325,00

100

-84 500,00

15 100,00

61 034,78

30 799,83

19 325,00

19 325,00

Используя полученные значения денежных потоков, проведем расчеты чистой настоящей стоимости проекта по формуле

Была использована ставка расчетного процента, равная 12%. Эти расчеты выполнены в пакете Microsoft Excel с помощью встроенной финансовой функции «ЧПС», используемой для вычисления значений чистой настоящей стоимости. Результаты расчетов приведены в табл. 1.17.

Таблица 1.17

Варианты денежного потока рассматриваемого проекта в рамках одного цикла имитационных расчетов, руб.

Номер итерации

Чистая настоящая стоимость

Номер итерации

Чистая настоящая стоимость

1

8099,22

88

20 157,62

2

-10 396,27

89

19 021,83

3

-20 208,51

90

723,53

4

29 550,87

91

-3510,26

5

-28,66

92

25 254,83

6

5892,18

93

-2118,41

7

-4048,31

94

-13 256,29

8

-14 928,45

95

-13 256,29

9

11 376,54

96

-11 353,63

10

-4758,59

97

12 566,27

И

14 567,67

98

9058,06

12

-681,72

99

11 941,16

100

22 808,31

Используя полученное распределение значений чистой настоящей стоимости проекта, можно определить основные характеристики, отражающие степень влияния факторов риска на чистую настоящую стоимость этого проекта. Построим частотную гистограмму значений чистой настоящей стоимости. Для этого все полученные на 100 итерациях значения чистой настоящей стоимости проекта подразделим на группы следующим образом. В первую группу включим те значения чистой настоящей стоимости, которые не превосходят -20 000 руб., а далее с шагом 10 000 руб. сформируем еще семь групп значений чистой настоящей стоимости, со 2-й по 8-ю, причем в последнюю группу включим те значения чистой настоящей стоимости, которые превышают 50 000 руб., и определим количество значений чистой настоящей стоимости, попавшей в каждую выделенную группу (табл. 1.18).

Распределение полученных значений чистой настоящей стоимости по группам, которые указаны в табл. 1.18, можно представить на следующей частотной гистограмме (рис. 1.5). Эта гистограмма показывает, что наибольшее количество полученных значений NPV располагается в интервале от -10 000 до 30 000. Она дает также определенное представление о возможных отрицательных значениях чистой настоящей стоимости, которые в данном примере попали в 1-ю, 2-ю и 3-ю группы. При этом большая часть

Группировка расчетных значений чистой настоящей стоимости

Показатель

Группа

1-я

2-я

3-я

4-я

5-я

6-я

7-я

8-я

Интервал

Менее -20 000

-20 000... -10 000

-10 000... 0

  • 0...
  • 10 000

10 000... 20 000

20 000... 30 000

30 000... 40 000

Более 40 000

Количество

значений

NPV

2

14

19

25

21

16

2

1

Интервалы значений NPV

Гистограмма чистой настоящей стоимости при нормальном распределении цены второго года и условно-переменных расходов третьего года

Рис. 15. Гистограмма чистой настоящей стоимости при нормальном распределении цены второго года и условно-переменных расходов третьего года

расчетных величин NPVрасполагается в области положительных значений. Конкретные значения частот попадания в каждый интервал зависят от полученного распределения выделенных случайных переменных, в нашем примере цен реализации второго года и условно-переменных расходов третьего, которые и рассматриваются как факторы риска. Полученный результат существенно зависит от предположения о нормальном распределении указанных выше факторов.

Метод Монте-Карло позволяет проанализировать влияние факторов риска — выбранных параметров проекта — на изучаемые показатели его оценки. В нашем примере в качестве такого показателя рассматривается чистая настоящая стоимость. Результаты расчетов шести показателей, характеризующих распределения NPV, построенные последовательно на каждом из выполненных 10 циклов имитационных расчетов, приведены в табл. 1.19.

Все они выполнены при одинаковом предположении нормального распределения рассматриваемых случайных переменных и сохранении их характеристик — среднего или ожидаемого значения и стандартного отклонения. В качестве факторов риска в процессе выполненных экспериментальных расчетов в данном примере были выбраны цены второго года и условно-переменные расходы третьего года; для каждого из этих факторов параметры распределения сохранялись одинаковыми во всех 10 циклах имитационных расчетов. В принципе можно проводить имитационные расчеты по методу Монте- Карло с переменным стандартным отклонением. В этом случае большую сложность представляет анализ устойчивости полученных результатов.

Проанализируем подробнее результаты расчетов, которые приведены в табл. 1.19. При этом показатели для 1 -го цикла имитационных расчетов быХарактеристики распределений NPV, полученных в режиме имитации, руб.

Показатель

Цикл имитационных расчетов

Среднее

ПО

выборке

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

Ожидаемое значение NPV

6377,42

5850,05

6219,10

7872,76

6464,63

7270,82

5134,90

4732,59

6967,99

6433,51

6332,38

Стандартное отклонение NPV

14 234,78

12 050,58

13 600,39

11 842,83

12 824,22

12 561,38

11 799,96

11 740,75

13 057,68

12 523,56

12 623,61

Коэффициент

вариации

2,23

2,06

2,19

1,50

1,98

1,73

2,30

2,48

1,87

1,95

2,03

Вероятность отрицательного значения NPV

0,35

0,32

0,32

0,26

0,28

0,27

0,33

0,28

0,30

0,38

0,31

Наибольшее значение NPV

45 730,85

48 188,70

32 271,74

40 135,47

33 258,94

39 046,84

32 540,41

38 074,83

35 308,90

34 346,91

37 890,36

Наименьшее значение NPV

-20 208,51

-18 800,71

-26 033,74

-20 708,27

-28 808,04

-25 213,19

-30 149,84

-26 082,51

-27 631,40

-19 175,26

-24 281,15

СО

СО ли определены на основе распределения NPV, представленного в табл. 1.17. Содержащиеся в табл. 1.19 данные позволяют сделать несколько выводов.

Во-первых, ожидаемое значение NPV во всех 10 циклах имитационных расчетов оказалось положительным, большая часть полученных значений NPV для каждого распределения сдвинута в положительную область.

Во-вторых, стандартное отклонение для каждого распределения NPV, полученного в режиме имитации, больше ожидаемого значения NPV. Указанное соотношение отражает и значение коэффициента вариации, которое больше единицы для всех циклов имитационных расчетов и позволяет сделать вывод о возможности реализации отрицательного значения NPV в процессе исполнения данного проекта.

В-третьих, этот вывод подтверждают полученные оценки вероятности отрицательного значения NPV проекта, которое определяется в соответствии с формулой (1.9) как отношение числа полученных отрицательных значений чистой настоящей стоимости на данном цикле имитационных расчетов к общему числу итераций, которое равно 100. Для всех проведенных циклов имитационных расчетов эта вероятность составляет примерно 30%.

В-четвертых, максимальные и минимальные значения NPV проекта дают представление о возможном интервале колебаний или разброса значений NPV проекта. Указанные данные еще раз подтверждают, что стандартное отклонение характеризует лишь часть интервала колебаний значения чистой настоящей стоимости проекта, определенного в результате имитационных расчетов.

В-пятых, представленные в табл. 1.19 данные позволяют сделать выводы об устойчивости полученных на каждом цикле имитационных расчетов характеристик распределений NPV, что собственно и дает возможность интерпретировать полученные средние оценки эмпирических результатов как соответствующие условиям исполнения проекта. Эту устойчивость можно проверять различными способами.

1. Можно использовать визуальную оценку распределения результатов, представленных в табл. 1.19. Так, на рис. 1.6 приведено распределение вероятности отрицательного значения NPV, полученное в 10 циклах имитационных расчетов.

При анализе графика, приведенного на рис. 1.6, очевидно, что полученный интервал колебаний этой вероятности достаточно узок. Если использовать максимальное и минимальное значения этой вероятности, то можно показать, что отклонения от среднего значения этой вероятности по данной выборке, которое равно 0,31, составляет примерно 13% в обе стороны.

Цикл имитационных расчетов

Рис. 1.6. Вероятность отрицательного значения NPV по циклам имитации

Аналогично можно выделить интервал колебания ожидаемого значения чистой настоящей стоимости проекта. Как показывают данные табл. 1.19, во всех циклах имитационных расчетов ожидаемая NPV имела положительное значение, хотя и была подвержена определенным колебаниям. График, приведенный на рис. 1.7, показывает как возможные тенденции изменения указанного показателя, так и интервал колебаний его значения по выполненным циклам имитационных расчетов.

Ожидаемое значение NPV по циклам имитации

Рис. 1.7. Ожидаемое значение NPV по циклам имитации

Если учесть, что среднее по выборке значение ожидаемой чистой настоящей стоимости — 6332,38 руб., то можно показать, что интервал колебаний расчетных значений составляет примерно 24% в обе стороны от среднего значения. Полученные оценки весьма зависят от числа выполненных циклов имитационных расчетов и, естественно, будут меняться при проведении последующих циклов. Относительная надежность подобных оценок возрастает по мере роста числа циклов имитационных расчетов и расширения объема выборки, представленной в табл. 1.19. Аналогичный анализ может быть выполнен и для других показателей, определяемых в каждом цикле имитационных расчетов (см. табл. 1.19).

2. При существенном увеличении количества циклов имитационных расчетов и расширении выборки полученных результатов можно использовать формальные критерии проверки гипотез и на их основе формировать выводы об устойчивости полученных результатов и конкретных значений тех или иных расчетных параметров. Проверка статистических гипотез основана на формировании проверочных статистик, которые определяются с учетом выборки рассматриваемого показателя, а также предположения о том, что проверочная статистика имеет заданное распределение. Выше при проверке гипотезы о равенстве нулю коэффициента парной корреляции рассматривалась так называемая простая гипотеза в предположении, что проверочная статистика имела распределение Стъюдента с п - 2 степенями свободы. Особенность проверки статистических гипотез состоит в том, что они принимаются с определенным уровнем доверия. Результаты соответствующего теста могут содержать ошибки первого рода, когда гипотеза отвергается, если она верна, и ошибки второго рода, когда гипотеза принимается в том случае, если она неверна или верна альтернативная гипотеза[6], т.е. получаемый в процессе подобного тестирования ответ не носит абсолютного характера.

Принятие решения об исполнении или неисполнении инвестиционного проекта на основе данных, полученных по методу Монте-Карло, прежде всего предполагает анализ полученных распределений значений чистой настоящей стоимости проекта, который можно проводить на основе гистограммы, аналогичной показанной на рис. 1.5. Подобная гистограмма может быть также построена для среднего по всем реализациям распределения NPV.

Если все значения распределения NPV на каждом цикле имитационных расчетов оказываются положительными, то проект можно рекомендовать к исполнению, в противном случае, если все значения распределения NPV проекта отрицательны на каждом цикле имитационных расчетов, проект не рекомендуется к исполнению. Во всех других случаях необходимо сопоставлять шансы на получение положительного и отрицательного значений NPV. Для гистограммы, представленной на рис. 1.5, можно отметить, что положительные значения NPV достигаются для групп с 4-й по 8-ю. Учитывая данные табл. 1.18, можно отметить, что по данной выборке 65% значений NPV положительны и только 35% отрицательны. Аналогичный анализ можно выполнить и по среднему значению распределения по всем циклам имитационных расчетов.

В литературе, посвященной проблемам оценки инвестиционных проектов но методу Монте-Карло, предлагается рассчитать еще некоторые показатели по выборке NPVпри предположении, что результаты на каждой итерации в течение одного цикла имитационных расчетов имеют одинаковую вероятность р = 1 /п. Именно на основе данного подхода рассчитаны значения ожидаемой NPV в табл. 1.19. Предлагается по такой же схеме определять «ожидаемый выигрыш» но положительным значениям NPV в полученной выборке и «ожидаемый проигрыш» — по отрицательным значениям NPV в этой выборке[7].

Учитывая, что NPV— это критерий выбора проекта, а не содержательная оценка его полезных результатов, требуется дополнительная содержательная интерпретация указанных показателей «выигрышей» и «проигрышей». Однако в том случае, когда в качестве итогового моделируемого показателя рассматривается доход за определенный период, по полученной в результате имитации выборке можно строить оценки среднего положительного дохода или убытка.

Принятие инвестиционного проекта к исполнению или нет зависит от сформированных в результате имитации распределений значений NPV и полученных характеристик этого распределения. Характеристики распределения NPV (см. табл. 1.19) меняются при каждом цикле имитационных расчетов. Поэтому особое значение приобретает анализ устойчивости установленных путем имитационных расчетов результатов, который позволяет получить дополнительную информацию для принятия решения. Речь идет не столько о том, каковы конкретные значения получаемых результатов, сколько о том, насколько они устойчивы и не будут ли они сильно меняться под фактическим воздействием выделенных факторов риска. Результаты этого анализа носят относительный характер как в случае, когда этот анализ выполняется визуально, так и если говорят об оценке основных критериев проверки статистических гипотез. Поэтому для лица, принимающего решение, существенно, соответствуют ли полученные интервалы колебания характеристик распределения его представлениям о будущих колебаниях соответствующего показателя или удовлетворяет ли его доверительный уровень выполнения соответствующей гипотезы.

Окончательное решение менеджера об исполнении или неисполнении рассматриваемого проекта принимается на основе всей указанной выше информации с учетом его склонности или несклонности к риску, которая находит свое отражение в том, считает ли это лицо для себя возможным реализацию проекта с полученными характеристиками распределения NPV и существуют ли у него те или иные возможности управления рисками данного проекта в том случае, если его развитие пойдет по неблагоприятному пути. Формальные критерии выбора решения на основе информации, получаемой в процессе моделирования по методу Монте-Карло, в настоящее время не разработаны, что относят к одному из основных недостатков данного метода оценки и обоснования инвестиционных проектов в условиях риска.

При использовании метода Монте-Карло следует иметь в виду, что в процессе его реализации речь идет об оценке общей устойчивости проекта к изменению выделенных факторов риска (в нашем примере — цены и условно-переменных расходов). Это связано с тем, что данный метод, как и дискретный анализ чувствительности, основан не на использовании возможных будущих изменений выделенного внешнего фактора риска, например цен, на соответствующем рынке, а опирается на компьютерную имитацию распределений выделенных факторов риска. Результаты существенно зависят от объема полученной выборки оценочных показателей, при этом их конкретные значения могут существенно изменяться от циклу к циклу имитационных расчетов. В этом также состоят недостатки метода Монте- Карло как имитационного метода анализа риска проектов долгосрочных инвестиций.

  • [1] Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method //J. Amer. Statistical assoc. 1949. Vol. 44.№ 247. P.335-341.
  • [2] Об особенностях метода Монте-Карло см.: Rubinstein R., Kroese D. Simulation and theMonte Carlo method. 2"d ed. Hoboken, N. J. : Wiley, 2008. 345 p. (см. о специфике расчетов пометоду Монте-Карло Р. 279—310); Fishman G. Monte Carlo: concepts, algorithms, and applications. New York ; Berlin [u.a.]: Springer, 1999.
  • [3] Об особенностях использования треугольного и равномерного распределений при моделировании по методу Монте-Карло см.: Риск-анализ инвестиционного проекта / под ред.М. В. Грачевой. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. С. 105-109, 329-330.
  • [4] О построении подобных графиков подробнее см.: Риск-анализ инвестиционного проекта / под ред. М. В. Грачевой. С. 113—117.
  • [5] Иногда разделяют сумму инвестиций в проект и расходы по будущему бизнесу, которыевозникают до завершения строительства и запуска в эксплуатацию, например, в форме расходов на отопление, освещение, управленческие расходы, это и учитывает параметр Я0.
  • [6] Подробнее о проверке гипотез см.: Матус Я. Р., Катышев II. К., Пересецкий Л. Л. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 1997. С. 219—221.
  • [7] Риск-менеджмент инвестиционного проекта: учебник / под ред. М. В. Грачевой, А. Б. Си-керииа. М.: ЮПИТИ-ДАНА, 2009. С. 169-170.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >