Оценка стоимости рыночного опциона в условиях непрерывного изменения цены базового актива (формула Блэка-Шоулза)

Определенный подход к анализу изменения цены базового актива опциона состоит в использовании случайных процессов для ее моделирования. Это предполагает, что на рынке акций или облигаций цена финансовых инструментов меняется непрерывно даже в течение одного биржевого дня. В этом случае для определения стоимости опциона с исполнением в конце периода можно воспользоваться формулой Блэка — Шоулза1. Ес можно отнести к одному из наиболее популярных, знаменитых и нашедших широкое применение результатов современной теории финансовых инструментов. Примечательно, что статья Ф. Блэка и М. Шоулза[1] [2], в которой представлена эта формула, была опубликована в 1973 г., в котором была образована Чикагская биржа опционов (Chicago Board Options Exchange — СВОЕ).

Формула Блэка — Шоулза представляет собой вариант определения цены рыночного опциона на покупку базового актива, не предусматривающего промежуточных выплат. Если речь идет об опционе на акцию, то в исходном варианте этой формулы в течение периода исполнения этого опциона не предусматриваются выплаты дивидендов.

Обоснование этой формулы опирается на теорию случайных процессов и подразумевает моделирование цены базового актива в форме стохастического дифференциального уравнения специального вида[3], а также выполнение ряда следующих упрощающих исходных предположений. При условии, что в качестве базового актива рассматриваются обыкновенные акции, их можно записать так:

  • 1) отсутствие транзакционных издержек и налогов;
  • 2) бесконечная делимость активов;
  • 3) постоянное значение ставки процента;
  • 4) логнормальное распределение цены или нормальное распределение доходности базового актива;
  • 5) отсутствие коротких продаж;
  • 6) отсутствие дивидендов но акциям;
  • 7) европейский тип опциона;
  • 8) непрерывное изменение цены базового актива (акции) в соответствии с процессом Ито[4];
  • 9) использование уравнения геометрического броуновского движения с постоянными коэффициентами для моделирования цены акции.

Введем обозначения, которые обычно используются в литературе при записи этой формулы: C(t) — стоимость опциона на покупку за t периодов до его выполнения; S — текущая цена базового актива; г — безрисковая ставка доходности; X — цена исполнения опциона; а — волатильность - риск базового актива в форме стандартного отклонения доходности акций; F(z) — функция стандартного нормального распределения.

Учитывая указанные исходные предпосылки, можно доказать, что стоимость европейского опциона на покупку выражается следующим образом:

Эта формула и получила название формулы Блэка — Шоулза, по имени американских экономистов Фишера Блэка и Майрона Шоулза, впервые предложивших ее использовать для оценки стоимости опциона на продажу. В 1998 г. Майрон Шоулз получил за нее Нобелевскую премию по экономике. Фишер Блэк скончался в 1995 г. и но положению не мог получить эту премию.

Вывод этой формулы опирается на анализ стохастических дифференциальных уравнений специального вида, формируемых с учетом соответствующих предпосылок и моделирующих процесс геометрического броуновского движения1.

Если по активу осуществляются промежуточные выплаты, например, в форме дивидендов по акциям, то рассматривается определенная модификация формулы (6.1), которая была предложена Р. Мертоном, также лауреатом Нобелевской премии по экономике. Если обозначить постоянный дивидендный доход через d, то стоимость опциона на покупку акции, обеспечивающей получение этого дохода, имеет вид

Следует только иметь в виду, что дивидендная доходность, предполагаемая постоянной в формуле (6.2), также может рассматриваться как случайная величина, которая подвержена случайными изменениям во времени.

Учитывая формулу паритета опционов на покупку п продажу, которая имеет следующий вид:

1 Подробно вывод этой формулы см. в кн.: Люу Ю.-Д. Указ. соч. С. 148—153, 270—292; Воронцовский А. В. Современные теории рынка капитала. С. 584—587; Мельников А. В., Волков С. Я., Нечаев М. Л. Математика финансовых обязательств. М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 2001.

где P(t) — цена опциона на продажу с исполнением в периоде t, можно получить формулу для стоимости опциона на продажу акции. Фактически справа приведена сумма доходов от исполнения опциона на покупку, пересчитанная на настоящий период, а слева — доходы от продажи акции по текущему курсу и продаже опциона на продажу. Тогда, если разрешить приведенное уравнение относительно P(t), учитывая формулу определения стоимости опциона на покупку (6.1), то легко получить, что формула для оценки стоимости опциона на продажу может быть представлена в следующем виде:

Основные факторы, которые влияют на стоимость опционов, — период до исполнения, рыночная цена и риск базового актива. Преимущество полученных формул состоит в том, что для анализа влияния указанных факторов на стоимость опциона можно воспользоваться первыми производными. Проанализируем изменение стоимости опциона на покупку при изменении следующих параметров: времени t, текущей цены базового актива Sy цены исполнения опциона X, ставки процента г и риска базового актива а.

Для оценки влияния указанных факторов на стоимость опциона в данном случае используются производные стоимости опциона по указанным переменным и коэффициенты эластичности, для обозначения которых специально используют греческие буквы. Мы приведем лишь часть из них.

Коэффициент тэта характеризует скорость изменения цены опциона во времени:

Коэффициент дельта показывает относительное изменение цены опциона при изменении текущего курса акций:

Можно показать, что значение дельта представляет собой коэффициент хеджирования, который показывает, какую часть от количества акций нужно купить, чтобы хеджировать опцион, заключенный на эго количество акций. Этот вид хеджирования также называют дельта-хеджированием.

Коэффициент гамма характеризует приращение коэффициента дельта при изменении текущей цены базового актива:

Коэффициент омега представляет собой коэффициент эластичности цены опциона по текущей цене акции:

Коэффициент омега показывает, на сколько процентов меняется цена опциона при изменении текущего курса акции на 1%.

Коэффициент лямбда отражает относительное изменение стоимости опциона при изменении риска в форме дисперсии на единицу:

Могут быть использованы и другие подобные параметры для измерения риска опционов, например вега, бета, которые здесь не рассматриваются. Если использовать формулу (6.2), учитывающую объем дивидендов, то можно с помощью соответствующей частной производном определить влияние дивидендов на стоимость опциона.

Анализ формулы Блэка — Шоулза и указанных коэффициентов позволяет получить следующие зависимости для стоимости европейского опциона на продажу:

  • • чем выше цена базисного актива, тем больше стоимость опциона;
  • • чем выше цена исполнения опциона, тем меньше его стоимость;
  • • чем выше безрисковая ставка процента, тем больше стоимость опциона;
  • • чем больше период до исполнения опциона, тем больше его стоимость;
  • • чем больше риск базисного актива, тем больше стоимость опциона.

Приведенные показатели выступают своеобразными мерами риска изменения стоимости опциона, в основу которых положена частная производная по соответствующему фактору. Все они используются при управлении опционами и хеджировании риска. При этом особое значение имеет стратегия управления рисками, основанная на формировании так называемых дельта-нейтральных портфелей. Для подобных портфелей значение коэффициента дельта равно или близко к нулю и изменение цепы базового актива не оказывает влияния на стоимость портфеля опционов, т.е. он становится защищенным от риска изменения цены базового актива. Более высокая степень рисковости опциона существенна для лица, занимающего «короткую позицию». Покупатель, занимающий «длинную позицию», может не исполнять его при неблагоприятных условиях.

Указанные коэффициенты представляют собой определенные меры риска изменения стоимости опционов, характеризующие чувствительность изменения стоимости опциона к изменениям соответствующего фактора. Подобные меры риска используются не только при анализе стоимости опционов в условиях применения формулы Блэка — Шоулза, но и при управлении портфелем рисковых активов. Эти методы в данной книге не рассматриваются.

Следует отметить, что однопериодная биномиальная модель оценки равновесной стоимости рыночного опциона является более простой, чем формула Блэка — Шоулза, так как для оценки стоимости опциона по ней необходимо знать только темпы роста цены базового актива в каждом из двух состояний экономики за каждый период. При этом не учитываются вероятности наступления будущих состояний экономики.

Совершенно очевидны преимущества формулы Блэка —Шоулза при оценке многопериодного опциона, поскольку объем исходной информации становится гораздо меньше, практически он остается тем же самым как для опциона с периодом исполнения один год, так и для опционов с более длительным периодом исполнения; при этом расчеты производить для многопериодного случая по формуле Блэка —Шоулза гораздо быстрее и проще, чем но биномиальной модели.

Приведем пример использования формулы Блэка — Шоулза для оценки стоимости опциона.

Предположим, что в качестве базового актива рассматривается некоторая акция, которая имеет текущую стоимость 100 руб. Цена исполнения опциона составляет 102 руб. за акцию. Период исполнения — девять месяцев, т.е. 0,75 года. Ставка процента составляет 15%. Риск изменения цены акции — 20%. Определим вначале значение параметра z, учитывая формулу (6.1):

Полностью исходные данные и результаты расчетов промежуточных параметров приведены в табл. 6.1. Значения функции стандартного нормального распределения определены с помощью встроенной функции стандартного нормального распределения «Нормстрасп» в пакете Microsoft Excel. Можно воспользоваться таблицами, которые приводятся в книгах по эконометрике1.

Используя данные, приведенные в табл. 6.1, можно определить стоимость опциона на покупку акций на данных условиях, руб.:

Таблица 6.1

Исходные данные и промежуточные результаты

S

X

t

а

Г

2

z - сЫТ

m

F(z - cVF)

100

102

0,75

0,2

15%

0,6218

0,4486

0,7330

0,6731

В данном случае использовался исходный вариант формулы Блэка — Шоулза, который не учитывает возможность выплаты дивидендов по акциям в течение периода исполнения опциона на акцию.

Если предположить, что объем выплачиваемых дивидендов составляет 8%, и воспользоваться формулой (6.2) для определения стоимости опциона на покупку акции, то следует учесть, что происходит изменение величины параметра г, который в данном случае определяется так:

Изменятся также параметры функции распределения. Эти данные приведены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Исходные данные и промежуточные результаты

5

X

t

а

Г

d

2

z - oVT

F(z)

F(z - aV7)

100

102

0,75

0,2

15

8

0,2754

0,1022

0,6085

0,5407

1 См., например: Матус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 1997. С. 234—235.

Используя данные, приведенные в табл. 6.2, можно определить стоимость опциона на покупку акций на данных условиях, руб.:

Учет выплат дивидендов привел к сокращению цены опциона.

Аналогичным образом можно определить стоимость опциона па продажу акции, используя формулу (6.2).

Выше были рассмотрены общие условия применения формулы Блэка— Шоулза для определения равновесной рыночной цены опциона на акцию. Указанный подход имеет важные преимущества по сравнению с рассмотренной выше биномиальной моделью определения цены опциона. Они состоят в том, что в формуле Блэка — Шоулза не учитываются в явном виде будущие доходы, которые равны разности будущей рыночной цены акции и цены исполнения, если цена на акцию больше цены исполнения; в противном случае опцион не исполняется и доход равен нулю. Дополнительной характеристикой случайного процесса, который моделирует изменения рыночной цены акции во времени, является волатильность. Эквивалентный, или так называемый следящий, портфель, на основе стоимости которого формируется исходное стохастическое уравнение, решением которого является формула Блэка—Шоулза, имеет достаточно условный характер и его часто довольно затруднительно построить даже на финансовом рынке. Поэтому практическое использование формулы в значительной степени определяется тем, что указанная формула требует очень небольшого объема исходной информации, основная часть которой всеми участниками рынка опционов оценивается одинаково. К ней относятся текущая цена акции, цена исполнения, срок до исполнения. Ставка процента тоже определяется примерно одинаково. Единственный параметр, который довольно затруднительно наблюдать, — эго волатильность, для оценки значения которой используют различные подходы, имеющие в большей степени теоретический характер[5]. С практической точки зрения обычно используют волатильность, равную 20%.

Это преимущество превращается в существенную проблему, когда мы пытаемся перенести этот подход на оценку стоимости отдельных рисковых активов капитала, реального рискового бизнеса и в целом отдельных будущих рисковых инвестиций. В данном случае необходимо сохранить структуру и состав исходных данных. В этом и состоит жесткое требование данного подхода. Именно интерпретация текущей цены и цены исполнения будет при этом представлять существенные трудности при использовании формулы Блэка —Шоулза в сфере реальной экономики. Другая проблема связана с интерпретацией получаемых оценок и обоснованием их экономического содержания. Определенный ответ на этот вопрос будет дан в параграфе 6.3.

  • [1] Общие основы теории рыночных опционов, в том числе и формулы Блэка — Шоулза, см.в кн.: Modern portfolio theory and investment analysis / E. Elton, M. Gruber, S. Brown, W. Goetz-man. Hoboken, N. J.: Wiley, 2007. P. 575—606; Шарп У., Александер Г, Бэйли Дж. Инвестиции :пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 1997. С. 658-670.
  • [2] Black К, Scholes М. The Pricing of Options and Corporate Labilities // Journal of politicalEconomy. 1973. Vol. 81. P. 637-654.
  • [3] * Подробнее модели случайных процессов см. в кн.: Шоломицкий А. Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделировании риска. М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 2005. С. 208—222.
  • [4] Непрерывный стохастический процесс Ито — это случайный процесс, описываемыйдифференциальным уравнением специального вида. Подробнее об уравнении Ито и леммеИто см.: Воронцовский А. В. Современные теории рынка капитала. М. : Экономика, 2010.С. 549—552; Шоломицкий А Г. Указ. соч. С. 220—222; Люу Ю.-Д. Методы и алгоритмы финансовой математики : пер. с англ. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. С. 254—259.
  • [5] Подробнее об основных подходах к оценке волатильности см.: Воронцовский А. В. Современные теории рынка капитала. С. 662—667; ХаллДж. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты : пер. с англ. 6-е изд. М.: Вильямс, 2007. С. 631—648.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >