Кручение стержней с некруглым поперечным сечением

Гипотезы, использованные при изучении кручения стержней с круговым поперечным сечением, о сохранении сечениями в процессе деформирования плоскостности и перпендикулярности к оси стержня в общем случае неприемлемы, поскольку приводят в ряде случаев к ошибочным выводам. Поэтому для изучения кручения стержней с некруговым поперечным сечением применяются другие подходы и вычислительные методы.

В механике встречаются явления, которые, несмотря на различную физическую природу, описываются с помощью аналогичных (сходных) математических соотношений. Основная ценность таких аналогий заключается в их наглядности и возможности использования в качестве инструмента для описания интересующих нас явлений.

При изучении кручения стержней с поперечным сечением некруглого профиля законы распределения касательных напряжений позволяют понять гидродинамическая аналогия. Суть аналогии заключается в следующем. Предположим, что нас интересует напряженно-деформированное состояние, возникающее при кручении стержня некруглого поперечного сечения (рис. 4.11, а).

Рассмотрим емкость с поперечным сечением той же формы, в которой совершает плоское, стационарное, круговое движение (циркулирует) идеальная жидкость (рис. 4.11, б).

Изучение кручения с помощью аналогий

Рис. 4.11. Изучение кручения с помощью аналогий

Согласно гидродинамической аналогии скорости и линии течения частиц жидкости являются аналогами величины касательных напряжений и их изолиний соответственно (т.е. величина касательного напряжения т пропорциональна скорости движения частицы жидкости г;, а траектория частицы соответствует линиям с постоянным значением касательного напряжения). В зоне с нулевой скоростью движения жидкости напряжение также равно нулю. На рис. 4.11, 6 такой является точка С. Зоны сечения, в которых скорость частиц максимальна, как правило, расположены у контура сечения L. В этих зонах действуют максимальные касательные напряжения. В отличие от кругового сечения максимальные касательные напряжения необязательно действуют в точках, максимально удаленных от центра тяжести сечения.

Полезную информацию также можно получить, используя мембраннопленочную аналогию. Рассмотрим сосуд, на верхний плоский контур которого в качестве упругой мембраны равномерно натянута тонкая пленка (рис. 4.11, в). На мембрану действует созданное в сосуде давление. Под действием давления мембрана деформируется и принимает определенную пространственную форму. Деформированная поверхность мембраны описывается уравнениями, аналогичными уравнениям, описывающим кручения вала с поперечным сечением, соответствующим плоскому контуру, на который натянута пленка.

Аналогом крутящего момента М в рассматриваемом опыте является объем V, заключенный между деформированной поверхностью мембраны и плоскостью контура, а аналогом касательного напряжения т — угол наклона касательной к поверхности в рассматриваемой точке с горизонтальной плоскостью |/. Существуют довольно простые установки, с помощью которых проводят соответствующие исследования.

Описанные аналоги показывают, что напряжения у контура сечения направлены вдоль касательной к контуру, из чего следует еще одно подтверждение справедливости закона о парности касательных напряжений. Допустим, что полное касательное напряжение т в точке В (см. рис. 4.11, я) не совпадает с касательной к контуру сечения в рассматриваемой точке. Полное напряжение т можно разложить на две составляющие: тя, действующее по нормали к контуру, и т, — но касательной к контуру. В соответствии с законом парности касательных напряжений компоненте хп должно соответствовать напряжение такой же величины на поверхности стержня. Но поверхность стержня свободна от нагрузок, и поэтому на ней такие напряжения появиться не могут. Полученное противоречие дает основание утверждать, что касательное напряжение, которое возникает у контура сечения, целиком направлено но касательной к контуру.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >