Косой изгиб прямого стержня

При рассмотрении прямого чистого изгиба прямого стержня мы потребовали, чтобы поперечное сечение стержня обладало осью симметрии, совпадающей с силовой линией в рассматриваемом сечении. В этом случае деформированная ось стержня оставалась в плоскости действия сил, а нейтральная ось сечения располагалась перпендикулярно силовой линии. Рассмотрим более общий случай изгиба стержня с несимметричным поперечным сечением (рис. 5.15).

Изгиб стержня с несимметричным поперечным сечением

Рис. 5.15. Изгиб стержня с несимметричным поперечным сечением

Сохраняя преемственность с введенной ранее правосторонней декартовой системой координат xyz> в которой ось стержня направлена вдоль оси х, рассмотрим поперечное сечение в локальной декартовой системе координат yz с началом в точке С. Предположим, что действие внутренних сил в рассматриваемом поперечном сечении сводится к равнодействующему изгибающему моменту М2 = Мтг, обусловленному действием внешнего момента М такой же величины. Общность результатов не ограничится, если предположить, что плоскость действия момента проходит через центр тяжести сечения, расположенный в точке С (см. рис. 5.15), и силовая линия совпадает с осью у.

Предполагая справедливыми гипотезы Эйлера — Бернулли, заключаем, что в результате изгиба стержня его поперечные сечения без изменения своей формы и размеров совершают поворот вокруг некоторой оси v, оставаясь при этом перпендикулярными к оси деформированного стержня.

Допустим, что ось поворота v пересекает ось у в точке О, отстоящей от точки С на расстояние а. Перпендикулярная к v ось и составляет с осью у угол а, отсчитываемый против часовой стрелки. В общем случае угол а отличен от 0 и тс/2, т.е. ось поворота не совпадает с нейтральной или силовой линией.

Деформацию произвольного волокна можно вычислить по формуле (5.6) с тем отличием, что величина у должна быть заменена на расстояние от центра тяжести элемента dA до оси т.е. величиной и. Деформацию волокон в продольном направлении представим в следующем виде:

В предположении справедливости гипотезы о ненадавливании слоев полагаем, что в поперечном направлении волокна продольного направления не взаимодействуют друг с другом, т.е. реализуется одноосное напряженное состояние. Учитывая соотношение (5.52), получим формулу для определения нормальных напряжений, действующих в поперечном сечении:

Для перехода от системы координат уСг к системе uOv воспользуемся формулами параллельного смещения и поворота осей:

С учетом формулы (5.53) значения нормальных напряжений представим в виде

Запишем три условия равновесия:

Отметим, что для деформированного состояния стержня сомножитель р

Производя интегрирование и заменяя соответствующие интегралы значениями геометрических характеристик сечения, получим

Проанализируем полученный результат. Поскольку ось у является центральной осью, Sy = 0. Поскольку в общем случае cos а не равен нулю, то из первого уравнения системы (5.56) следует

Поскольку ось Cz, так же как и Су, является центральной осью, S2 = 0, и тогда аА = 0. Поскольку площадь поперечного сечения не равна нулю, то а = 0. Следовательно нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Рассмотрим второе соотношение (5.56) и установим величину угла наклона а оси Ои относительно Су. Учитывая равенство нулю Sy, находим

Согласно формуле (5.57) в общем случае нейтральная линия необязательно расположена перпендикулярно к силовой линии. Рассмотрим случай, когда ось Су является главной центральной осью сечения. Поскольку перпендикулярная ей ось Cz так же является главной осью, центробежный момент инерции 1у2 равен нулю. Согласно формуле (5.57) находим, что tg a = 0 и, соответственно, a = 0.

Таким образом, в случае если силовая линия совпадает с одной из главных осей сечения, имеет место случай прямого изгиба, при котором деформированная ось стержня расположена в силовой плоскости, а нейтральная линия в сечении перпендикулярна силовой линии.

С помощью третьего соотношения (5.56) определим значение кривизны:

Для преобразования этой формулы воспользуемся соотношением (5.57):

Выражение IJZ - [yz является вторым инвариантом тензора геометрических характеристик поперечного сечения. Формулу нормальных напряжений (5.54) можем записать в следующем виде:

Если силовая линия совпадает с главной осью сечения, центробежный момент инерции сечения 1у2 и угол а равны нулю. Это позволяет провести дальнейшее упрощение выражения (5.60):

На основании полученного результата можно сделать следующий вывод. Формулы для изгиба сечения с одной осью симметрии можно распространить на сечение любой формы при условии совпадения силовой линии с одной из главных центральных осей сечения.

Полученный результат можно распространить на более общий случай косого изгиба, при котором силовая линия проходит через центр тяжести сечения, но не совпадает ни с одной из главных осей сечения. В таком случае в соответствии с принципом независимости действия сил мы можем, разложив предварительно изгибающий момент по главным осям на две составляющие, решить обе задачи раздельно, а затем получить общее решение задачи как суперпозицию двух полученных решений.

Рассмотрим данный случай на примере изгиба стержня прямоугольного поперечного сечения (рис. 5.16).

Косой изгиб прямого стержня

Рис.. 5.16. Косой изгиб прямого стержня

Плоскость, в которой действует момент {Мп;и.}, проходит через ось стержня Ох.

Положение силовой линии, представляющей собой след плоскости момента в сечении, будем задавать с помощью угла а, отсчитываемого от оси у к силовой линии против часовой стрелки. Значение угла a = 0° соответствует случаю прямого изгиба. Угловой коэффициент силовой линии равен

Для наглядности представим изгибающий момент как вектор (см. рис. 5.16), проекции которого на оси у и z равны, соответственно:

Используя принцип независимости действия сил, рассмотрим действие каждой составляющей раздельно. Плоскость действия Мг проходит через главную ось сечения Оу и совпадает с плоскостью хОу. Поэтому для определения соответствующих напряжений можно использовать формулу (5.61):

Отметим, что элементарной площадке с положительной координатой у соответствует сжимающее напряжение.

Вторая составляющая момента Му вызывает изгиб в плоскости xOz. Значения напряжения могут быть найдены аналогично формуле (5.63) с учетом изменения обозначений:

Отметим, что элементарной площадке с положительной координатой z соответствует сжимающее напряжение.

Полные действующие в сечении напряжения определятся суммированием полученных результатов, где у и z — координаты элементарной площадки, в которой определяются значения напряжений:

Приравняв значение напряжения ах к нулю, определим геометрическое место точек сечения, лежащих на нейтральной линии:

Отсюда находим уравнение нейтральной линии:

Запишем уравнение нейтральной линии в каноническом для записи уравнения прямой на плоскости виде:

Определим взаимную ориентацию силовой (5.62) и нейтральной (5.67) линий. Поскольку 1у и 1г положительные величины, можем записать следующее условие:

Отсюда можно сделать вывод о том, что нейтральная и силовая линии проходят в разных координатных четвертях (квадрантах). В рассмотрен-

Нейтральная и силовая линии

Рис. 5.17. Нейтральная и силовая линии

ном случае нейтральная линия проходит в первой и третьей, а силовая линия — во второй и четвертой четвертях (рис. 5.17).

В общем случае нейтральная и силовая линии не являются взаимно перпендикулярными, поскольку для этого должно выполняться условие k{k2 = -1.

Согласно формуле (5.68) данное условие будет выполнено только при равенстве главных моментов инерции: 1Ц = /2.

В гл. 3 было показано, что в таком случае любые две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, являются главными. К таким сечениям можно отнести сечения, обладающие тремя и более осями симметрии (например, круговые сечения и все правильные плоские многоугольники: равносторонний треугольник, квадрат и т.д.). Для сечений такого вида при любом положении силовой линии при условии прохождения ее через центр тяжести реализуется только прямой изгиб.

При косом изгибе нормальные напряжения в сечении распределены но линейному закону и достигают максимального значения в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.

В заключение отметим, что в случае изгиба, при котором силовая линия не проходит через центр тяжести сечения, используются более сложные зависимости, о которых будет сказано далее.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >