Потенциальная энергия деформации стержня при комбинированном нагружении

Рассмотрим прямой стержень, который испытывает центральное растяжение-сжатие, изгиб в двух плоскостях и кручение. Вырежем из стержня элементарный участок длиной dx (рис. 6.3). Левое сечение элемента будем рассматривать как условно неподвижное.

Представим внутренние силовые факторы, действующие в правом сечении участка dx, как внешние силы. Внутренние силовые факторы определяются в результате определенных математических операций, проводимых с нолем действующих в сечении нормальных и касательных напряжений. При этом силы приводятся к центру тяжести, а моменты вычисляются относительно главных центральных осей. Каждому из шести силовых факторов будет соответствовать свое, непосредственно им вызванное, линейное или угловое малое перемещение отсчетной материальной (т.е. обладающей шестью степенями свободы) точки, помещенной в центр тяжести сечения. В силу малости перемещений считаем справедливым принцип суперпозиции, согласно которому каждый силовой фактор работает только на своем

К определению потенциальной энергии деформации

Рис. 63. К определению потенциальной энергии деформации

перемещении и не совершает работу на перемещениях, вызванных остальными факторами.

В таком предположении потенциальная энергия элемента может рассматриваться как сумма независимых работ каждого из шести силовых факторов:

Для записи первых четырех слагаемых воспользуемся ранее полученными соотношениями:

Для определения элементарной работы перерезывающих сил подсчитаем энергию, заключенную в объеме элементарной призмы с площадью основания dA и высотой dx (см. рис. 6.3). Используя формулу для подсчета удельной потенциальной энергией при сдвиге (4.3), проведем интегрирование по площади А:

Применяя для определения величины касательных напряжений формулу Журавского (5.21), получаем

Обозначив

Аналогично получим

Коэффициенты k и k2 представляют собой безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечений. Значения коэффициентов для некоторых сечений приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Значения коэффициентов для подсчета энергии деформации при действии поперечных сил

Используя формулы (6.9), (6.10), (6.12), (6.13) и производя интегрирование по длине, окончательно получаем

Еще раз подчеркнем, что при выводе формулы (6.14) в неявном виде используются принципы суперпозиции и неизменности начальных размеров, так как предполагается, что каждый из силовых факторов работает только на вызванных им малых перемещениях и не работает на перемещениях, вызванных другими силовыми факторами. Таким образом, общая потенциальная энергия определяется суммированием вкладов отдельных силовых факторов, определяемых независимо друг от друга.

При определении энергии от сдвига следует учесть, что коэффициенты к, характеризующие форму поперечного сечения, дают погрешность в пределах 5%, обусловленную допущениями, принятыми при выводе формулы Журавского.

Вместе с тем при практических расчетах стержневых конструкций, элементы которых работают в основном на изгиб и кручение, в формуле (6.14) можно пренебречь слагаемыми, соответствующими энергии растяжения- сжатия и сдвига, поскольку их вклад в общую энергию намного меньше энергий изгиба и кручения. В качестве исключения можно отметить случай внецентренного растяжения-сжатия, при котором энергия сжатия и изгиба одного порядка.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >