Принцип возможных перемещений и теорема Лагранжа

Принцип возможных перемещений, называемый также принципом Лагранжа, является вариационным принципом, который выражает необходимое и достаточное условие равновесия произвольной механической системы, подчиненной идеальным двусторонним связям: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил на возможных перемещениях системы равнялась нулю.

Под возможными (виртуальными) перемещениями понимаются воображаемые бесконечно малые перемещения, которые точки механической системы могут совершать из занимаемого ими в данный момент времени положения, не нарушая наложенных на систему связей. В теоретической механике для механической системы, состоящей из абсолютно жестких элементов, учитывается работа только внешних сил W. В сопротивлении материалов наряду с работой внешних сил необходимо рассматривать работу внутренних сил, отождествляемую для линейно-упругих тел с потенциальной энергией деформации U.

Следствием вариационного принципа возможных перемещений является принцип минимума полной потенциальной энергии, равновесное состояние деформируемого тела, находящегося под действием внешних объемных и поверхностных сил, соответствует экстремальному значению полной потенциальной энергии тела.

Полная потенциальная энергия тела складывается из потенциальной энергии деформации тела U и работы внешних сил W. С использованием обозначений: 8U — вариация потенциальной энергии деформации тела, 8W — вариация работы внешних сил, совпадающая с элементарной работой внешних сил на возможных перемещениях, принцип записывается в виде

Рассмотрим упругое тело произвольной геометрической формы, нагруженное системой внешних сил Fn г = 1,2,3,.... Перемещение точки приложения силы по направлению действия силы обозначим я.. В случае консервативной механической системы (т.е. системы, у которой сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна) потенциальная энергия деформации U может быть выражена через работу внешних сил W.

Сообщим точкам приложения сил Fi возможные перемещения г Элементарная работа внешних сил составит

Считая, что потенциальная энергия деформации является функционалом обобщенных перемещений, т.е. U = U(av av ..., ап), выразим элементарную работу внутренних сил, равную вариации потенциальной энергии, следующим образом:

Приравнивая виртуальные работы внешних и внутренних сил, получаем

Вследствие произвольности вариаций 5а, в соотношении (6.18) приходим к формуле

выражающей собой теорему Лагранжа для линейных упругих систем: частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщенному перемещению а} равна обобщенной силе Fjt действующей по направлению перемещения.

На первый взгляд, данное утверждение не совсем практично. Сложно получить общую зависимость потенциальной энергии деформации от перемещения произвольной точки конструкции для последующего дифференцирования, поскольку континуальные системы содержат бесконечное число точек, к тому же в каждой точке можно задать различные направления перемещений. В то же время количество точек приложения сил (подразумеваются сосредоточенные силы), как правило, ограничено, т.е. не в каждой точке тела приложены сосредоточенные обобщенные внешние силы.

Это противоречие снимается при переходе к дискретным системам. Так, например, в методе конечных элементов полагается, что в конечном числе точек (узлов) каждому узловому перемещению можно поставить в соответствие узловую силу.

Для линейно упругого тела зависимость между силами и перемещениями является линейной, поэтому выражение для потенциальной энергии можно представить в квадратичной форме:

Используя теорему Лагранжа, получаем

В развернутом виде для дискретных систем формула (6.21) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, которая носит название системы канонических уравнений метода перемещений:

Каждая строка в системе (6.22) имеет смысл уравнения равновесия в узловой точке конструкции по обобщенному направлению i. В матрично-векторном виде систему можно записать следующим образом[1]:

Матрица [К] называется матрицей жесткости конструкции, вектор {а} — вектором узловых перемещений, вектор {F} — вектором узловых сил. Коэффициенты системы уравнений (6.22) называются коэффициентами жесткости и имеют следующий физический смысл: коэффициент ktj численно равен величине обобщенной силы, действующей по обобщенному направлению i, вызывающей единичное обобщенное перемещение по направлению j.

  • [1] Величина {а} по своей сути вектором не является. Вместе с тем с целью использованияаппарата матрично-векторного исчисления она представлена как «квазивектор». Здесь и далее для вектора-столбца будут использоваться фигурные скобки { }, а для обозначения матрицы — квадратные скобки [ ].
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >