Изменение объема тела и потенциальная энергия деформации

В результате действия внешних сил упругое тело изменяет как свою форму, так и геометрические размеры.

Рассмотрим бесконечно малый элемент (рис. 10.12) с целью выяснения, как изменение его объема связано с напряженным состоянием.

Бесконечно малый элемент

Рис. 10.12. Бесконечно малый элемент

Пусть в недеформированном состоянии грани элемента равны dx, dy и dz. Соответствующий объем равен dV0 = dxdydz.

В результате деформирования размеры изменятся и станут равными

Объем элемента в деформированном состоянии составит

Пренебрегая слагаемыми высшего порядка малости, формулу (10.45) можно переписать в виде

Тогда дифференциал изменения объема будет равен

Посредством интегрирования установим суммарное изменение объема тела:

Относительное изменение объема составит

Таким образом, относительное изменение объема е равно первому инварианту тензора деформаций. Отметим, что полученный результат не зависит от выбора системы координат и физико-механических свойств материала.

В частном случае изотропного материала, подчиняющегося обобщенному закону Гука, для системы координат, совпадающей с главными направлениями, формула относительного изменения объема приобретает вид

Полученная формула позволяет найти предельное значение для коэффициента Пуассона. Так, для случая всестороннего равномерного сжатия а, = а2 = аз = имеем естественное ограничение

откуда v < 0,5.

Подсчитаем потенциальную энергию деформации элемента как работу сил, приложенных к элементу:

Отсюда получим формулу для вычисления удельной потенциальной энергии деформации:

Отметим, что удельная потенциальная энергия деформации зависит от величин первого и второго инвариантов тензора напряженного состояния.

Полную энергию деформации элемента удобно представить в виде суммы энергии, затраченной на изменение его объема Щ6, и энергии, затраченной на изменение его формы U^:

Для этого представим напряженное состояние, показанное на рис. 10.12, как сумму двух напряженных состояний (рис. 10.13), называемых шаровым тензором напряжений и девиатором напряжений.

Разложение напряженного состояния на шаровой тензор и девиатор напряжений

Рис. 10.13. Разложение напряженного состояния на шаровой тензор и девиатор напряжений

Значение компонентов разложения напряженного состояния определим следующим образом:

Отметим, что первая часть обсуждаемого разложения напряженного состояния, т.с шаровой тензор, отвечает за изменение объема элемента, а вторая (девиатор напряжений) — за изменение его формы.

Установим значение энергии, затраченное на изменение объема. Для этого вычислим первый и второй инварианты первого напряженного состояния, используемого при разложении:

Подставим выражения (10.51) в формулу (10.49) и установим формулу для определения удельной энергии, необходимой для изменения объема упругого изотропного тела:

Удельную энергию деформации тела, необходимую для изменения формы, получим, вычитая удельную энергию, необходимую для изменения объема, из полной удельной энергии деформирования:

Выразим удельную энергию, затрачиваемую на изменение формы, через главные напряжения:

Полученный результат в последующем будет использован для формулировки одного из критериев наступления пластического состояния деформированного тела.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >