Моментная теория осесимметричных цилиндрических оболочек

Цилиндрические оболочки (тонкостенные цилиндры) представляют собой наиболее распространенный частный вид оболочек вращения. Поскольку теория расчета цилиндрических оболочек значительно проще и нагляднее, чем теории расчета оболочек другой формы, традиционно эту теорию рассматривают отдельно от общего случая оболочек вращения.

Осесимметричная изгибная деформация оболочки возникает в местах приложения внешних кольцевых нагрузок, а также в местах закрепления или сопряжения цилиндрической оболочки с другими конструктивными элементами: днищами, кольцевыми ребрами и т.д.

Теория осесимметричной деформации цилиндрических оболочек основана на гипотезах Кирхгофа — Лява. Данные гипотезы рассматривались выше в параграфе, посвященном расчету пластин. Остановимся на этих гипотезах еще раз применительно к цилиндрическим оболочкам.

Гипотеза неизменности нормалей. Точки, лежащие на нормали к срединной поверхности оболочки до деформации, после деформации остаются лежать на одной прямой, перпендикулярной к деформированной срединной поверхности оболочки, при этом расстояние между точками не изменяется. Гипотеза носит геометрический характер и позволяет установить связь между деформированным состоянием в произвольной точке оболочки и изменением геометрии ее срединной поверхности. С ее помощью исследование деформации оболочки сводится к исследованию деформации ее срединной поверхности.

Гипотеза о ненадавливании слоев оболочки. Нормальные напряжения в площадках, параллельных срединной поверхности оболочки, считают пренебрежимо малыми, и напряженное состояние в материальных точках, принадлежащих оболочке, можно считать плоским напряженным состоянием.

Следует отметить, что между гипотезами изначально существует известное противоречие, поскольку соотношения закона Гука не допускают, чтобы напряжения и деформации, действующие в направлении нормали к срединной поверхности, одновременно равнялись нулю при ненулевых компонентах напряжений и деформаций в остальных направлениях. Тем не менее существующий расчетный опыт и его экспериментальная проверка показали, что указанные гипотезы приближенно выполняются с удовлетворительной для расчетных целей точностью, если толщина оболочки мала по сравнению с радиусом цилиндра.

При построении разрешающих соотношений теории предполагается справедливость основных допущений о материале оболочки, который считается однородным, изотропным и линейно-упругим, т.е. подчиняющимся закону Гука.

Введем обозначения: г — средний радиус цилиндра; h — толщина стенки цилиндра; х — координата, совпадающая со срединной поверхностью оболочки и отсчитываемая от торца в направлении оси цилиндра; и, w — перемещения произвольной точки срединной поверхности в осевом и в радиальном направлениях; у — расстояние от срединной поверхности до текущего слоя оболочки (~h/2 < у < +h/2).

Выразим относительные деформации в произвольном слое оболочки, расположенном на расстоянии у от срединной поверхности, через перемещения. На рис. 14.6 изображен бесконечно малый элемент оболочки до и после деформации. Ось х, совпадающая со срединной поверхностью оболочки, образует с осью у, направленной в сторону увеличения радиуса, правостороннюю систему координат. Перемещение и отсчитывается вдоль оси х, а прогиб w — вдоль оси у.

К выводу геометрических соотношений осесимметричного изгиба цилиндрических оболочек

Рис. 14.6. К выводу геометрических соотношений осесимметричного изгиба цилиндрических оболочек

В правосторонней системе координат ху угол поворота нормали 0 связан с величиной прогиба соотношением

Относительная деформация волокна АВ в осевом направлении составит

Относительная деформация в окружном направлении определяется как отношение приращения длины окружности, проходящей через произвольную точку А, к ее первоначальной длине:

В случае плоского напряженного состояния соотношения закона Гука имеют вид

Подставив в эти уравнения выражения деформаций (14.8) и (14.9), получим

Напряжения, возникающие в элементе оболочки, показаны на рис. 14.7.

Напряжения, возникающие в цилиндрической оболочке

Рис. 14.7. Напряжения, возникающие в цилиндрической оболочке

Кроме напряжений стг и ст, в произвольном слое возникает также касательное напряжение т, Величина касательного напряжения пренебрежимо мала по сравнению с нормальными напряжениями и в расчетах на прочность не учитывается. Однако равнодействующей касательного напряжения, которая представляет собой поперечную силу Q, мы уже пренебречь не можем. Поперечная сила входит в уравнения равновесия элемента оболочки п играет существенную роль в выводе разрешающих соотношений. Перейдем от напряжений к внутренним силовым факторам. При интегрировании по толщине оболочки напряжения стг и ст, приводятся к интенсивностям нормальных усилий Nr и N, и интенсивностям изгибающих моментов Мх и М,, имеющих размерность [Н/м] и [ Н| соответственно:

где символом D обозначена величина, называемая цилиндрической жесткостью оболочки:

В интегралах для определения интенсивностей изгибающих моментов использован знак «минус», поскольку при положительном направлении моментов в слоях с положительной координатой у напряжения от изгиба отрицательные.

Выразив из первого уравнения (14.12) перемещение и подставив полученное соотношение во второе уравнение (14.12), получим выражение для интенсивности окружного усилия Nt через w и N:

Для вывода разрешающих уравнений рассмотрим равновесие элемента срединной поверхности оболочки dxrdxp (рис. 14.8).

Равновесие элемента срединной поверхности оболочки

Рис. 14.8. Равновесие элемента срединной поверхности оболочки

Для краткости интенсивности сил и моментов в дальнейшем изложении будем называть просто силами и моментами. Кроме сил Nx и Nt и моментов Мх и М{ на элемент действуют силы поверхностной нагрузки pndxrd(p и px.dxrd(p (нагрузка рп, нормальная к поверхности, создается внутренним или наружным давлением; нагрузка рх, направленная вдоль оси оболочки, может возникнуть за счет сил трения или за счет собственного веса при вертикальном расположении оболочки). Все силы и моменты на рис. 14.8 направлены в положительном направлении.

Из шести уравнений равновесия в силу симметрии только три уравнения не вырождаются в тождество: уравнение проекций сил на направления г и х и уравнение моментов относительно оси ?, касательной к окружности:

При решении полученной системы уравнений значение осевой силы Nx можно считать известным, так как оно может быть определено заранее по второму уравнению (14.15). Действительно, умножив обе части уравнения на 2кг и проинтегрировав по х, найдем

Это уравнение представляет собой уравнение равновесия части оболочки, отсеченной по кругу х = const. Первое слагаемое в правой части равенства представляет собой интеграл от поверхностных осевых сил; с помощью константы С учитываются силы, приложенные к торцу.

Для примера, в случае цилиндрической оболочки с днищем, нагруженной равномерным внутренним давлением (рис. 14.9, а), воспользовавшись методом сечений (рис. 14.9, б), можно получить следующее уравнение равновесия:

откуда, считая гвн ~ г, найдем величину интенсивности осевого усилия:

К определению интенсивности осевого усилия

Рис. 14.9. К определению интенсивности осевого усилия

Приведем систему уравнений деформаций и равновесия к одному уравнению с одним неизвестным. Из третьего уравнения (14.15) с учетом равенства (14.12) следует

Выражения (14.14) и (14.19) подставим в первое уравнение (14.15), тогда или где

Если функция w, удовлетворяющая уравнению (14.21) и граничным условиям на краях, будет найдена, то по зависимостям (14.12) можно вычислить интенсивности изгибающих моментов Мг и М(, а по зависимости (14.14) — интенсивность окружного усилия IV,. Напряжения стги а, определяются по внутренним силовым факторам:

Эти формулы легко получить из уравнений (14.11)—(14.14). Наибольшие по абсолютной величине напряжения возникают при у = ±h/2:

Знак «минус» соответствует слоям оболочки, расположенным на ее наружной поверхности.

Перейдем к интегрированию дифференциального уравнения (14.21). Общее решение уравнения представим в виде суммы общего решения w0 однородного уравнения

и частного решения w* исходного уравнения (14.21):

Решение однородного уравнения (14.25) ищем в виде

Подставив эту функцию в левую часть уравнения (14.25), получим характеристическое уравнение

откуда найдем

По правилам извлечения корней из отрицательных и мнимых чисел модуль числа к равен корню четвертой степени из модуля подкоренного числа, т.е. а аргумент числа к - аргументу подкоренного числа, деленному

тс + 2тш , „

на показатель корня, т.е.-, следовательно, к представляет собой ком-

4

плексное число

Придавая п значения 0, 1,2, 3, получим четыре корня характеристического уравнения:

Общее решение однородного уравнения (14.25) имеет вид или

где С,, С2, Cv С4 — постоянные интегрирования.

Частное решение уравнения с правой частью w* зависит от закона распределения поверхностных нагрузокрп и рх. Обычно на практике или нагрузки Рп и Рх постоянны, или их изменение вдоль оси .г подчиняется линейному или квадратичному закону. Ограничиваясь только этими случаями и учитывая, что при указанных условиях производные выше второй степени но координатехотр„,рхи Тх равны нулю, получим для ш* следующее выражение:

Для практических целей общее решение уравнения (14.25), представленное в виде (14.32), недостаточно удобно, поэтому его преобразуют к другому виду, причем для длинных и коротких оболочек это преобразование делается по-разному.

Остановимся на вопросе определения констант интегрирования. Для этой цели необходимо использовать граничные условия на краях оболочки. На каждом краю обычно бывают заданы два условия (рис. 14.10).

Варианты граничных условий

Рис. 14.10. Варианты граничных условий

Если край жестко заделан (рис. 14.10, а), то значения функции прогиба и угла поворота на краю должны быть равными нулю:

Для шарнирно опертого края (рис. 14.10, б)

Для свободного края (рис. 14.10, в)

При нагружении края оболочки заданной силой Qo и моментом М0 (рис. 14.10, г)

В случае сопряжения цилиндрической оболочки с оболочкой другого типа или плоским днищем используются условия равенства радиальных перемещений w (или равенство окружных деформаций г,); равенства углов поворота нормали 0; равенства изгибающих моментов Мт и равенства радиальных составляющих внутренних сил Q (сил распора).

Определение четырех постоянных интегрирования требует решения системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако практически всегда оказывается возможным построить решение так, что две постоянные определяются сразу, а остальные — в результате решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >