Расчет на устойчивость с помощью коэффициента снижения допускаемого напряжения на сжатие
Рассмотрим график зависимости а|ф(^), представленный на рис. 15.16.
Правая часть графика (кривая 1) определяется выражением (15.36) и носит название гиперболы Эйлера. Левая часть может быть описана соотношениями (15.45) или (15.46) — кривая 2. Рассмотрим стержень, характеризуемый значением гибкости X*. Проведем вертикальную прямую и рассмотрим отрезки LM и MN. Отрезок LM соответствуем критическому напряжению ат, которое используется в качестве предельного напряжения при обычном расчете стержня по методу допускаемых напряжений. Отрезок MN соответствует критическому напряжению ст*р, полученному расчетом стержня на устойчивость.
Рис. 15.16. График зависимости акр(А,)
Введем коэффициент ср, равный
Величина ф называется коэффициентом снижения допускаемого напряжения на сжатие. Коэффициент ф изменяется в пределах от единицы до нуля и уменьшается но мере увеличения гибкости.
Использование коэффициента снижения допускаемого напряжения позволяет свести расчет на устойчивость к расчету по допускаемым напряжениям. Для этого необходимо лишь заменить предельное значение напряжения сниженным значением этой величины:
Коэффициент снижения допускаемого напряжения на сжатие зависит от размеров стержня, условий закрепления, формы поперечного сечения и диаграммы испытания материала. Влияние формы сечения и вида диаграммы испытания можно усреднить в разумных пределах и составить таблицы зависимости коэффициента снижения материала от гибкости стержня, которые широко используются в расчетной практике. Приведем такую таблицу (табл. 15.2) в качестве примера (о параметре rj, также указанном в табл. 15.2, см. ниже).
Проверка стержня на устойчивость для случая, когда заданы его размеры и материал, проводится следующим образом.
- 1. По формуле (15.35) вычисляется значение гибкости X.
- 2. По табл. 15.2 определяется соответствующее найденному значению X значение коэффициента снижения допускаемого напряжения ф.
- 3. По формуле (15.48) определяется значение допускаемого напряжения на устойчивость [акр].
- 4. Согласно формуле (15.34) вычисляется нагрузка F, которая сопоставляется с заданной.
Рассмотренный порядок решения соответствует прямой задаче. Сложнее оказывается обратная задача, т.е. задача подбора размеров поперечного сечения при заданной нагрузке. Сложность заключается в нелинейном характере задачи. Для определения коэффициента ф необходимо знать минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня, который в свою очередь оказывает влияние на параметр X. Параметр гибкости связан с коэффициентом ф нелинейной зависимостью. Таким образом, имеем дело с задачей, заданной в неявном виде. Для решения подобных задач используютТаблица 15.2
Зависимость коэффициента снижения допускаемого напряжения
от гибкости
|
X |
Сталь |
Чугун |
Дерево |
Бетон |
||||||||||
|
Ст. 2, Ст. 3, Ст. 4 |
Ст. 5 |
Сч. 15-30, Сч. 15-18, Сч. 15-36, Сч. 21-40 |
Сч. 21-44, Сч. 24-48 |
независимо от породы |
тяжелый |
легкий |
||||||||
|
Ф |
Л |
Ф |
Л |
Ф |
Л |
Ф |
Л |
ф |
Л |
ф |
Л |
ф |
Л |
|
|
0 |
1,00 |
|||||||||||||
|
10 |
0,99 |
10,1 |
0,98 |
10,1 |
0,97 |
10,2 |
0,95 |
10,3 |
0,99 |
10,1 |
1,0 |
10,0 |
1,0 |
10,0 |
|
20 |
0,97 |
20,1 |
0,95 |
20,5 |
0,91 |
21,0 |
0,87 |
21,4 |
0,97 |
20,1 |
0,96 |
20,4 |
0,96 |
20,4 |
|
30 |
0,95 |
30,8 |
0,93 |
31,1 |
0,81 |
33,3 |
0,75 |
34,6 |
0,92 |
31,3 |
0,90 |
31,6 |
0,86 |
32,3 |
|
40 |
0,92 |
41,7 |
0,90 |
42,2 |
0,69 |
48,2 |
0,60 |
51,6 |
0,87 |
42,9 |
0,84 |
43,6 |
0,73 |
46,8 |
|
50 |
0,89 |
53,0 |
0,84 |
54,6 |
0,57 |
66,2 |
0,43 |
76,3 |
0,80 |
55,9 |
0,76 |
57,4 |
0,68 |
60,6 |
|
60 |
0,86 |
67,1 |
0,80 |
67,1 |
0,44 |
90,5 |
0,32 |
106 |
0,71 |
71,2 |
0,70 |
71,7 |
0,59 |
78,1 |
|
70 |
0,81 |
77,8 |
0,74 |
81,4 |
0,34 |
120 |
0,23 |
146 |
0,61 |
89,6 |
0,63 |
88,2 |
0,52 |
97,1 |
|
80 |
0,75 |
92,4 |
0,66 |
98,5 |
0,26 |
157 |
0,18 |
189 |
0,49 |
114 |
0,57 |
106 |
0,46 |
118 |
|
90 |
0,69 |
108 |
0,59 |
117 |
0,20 |
201 |
0,14 |
241 |
0,38 |
146 |
0,51 |
126 |
||
|
100 |
0,60 |
129 |
0,50 |
141 |
0,16 |
250 |
0,12 |
289 |
0,31 |
180 |
0,45 |
149 |
- |
- |
|
110 |
0,52 |
153 |
0,43 |
168 |
- |
- |
- |
- |
0,26 |
216 |
- |
- |
- |
- |
|
120 |
0,45 |
179 |
0,38 |
195 |
- |
- |
- |
- |
0,22 |
256 |
- |
- |
- |
- |
|
130 |
0,40 |
206 |
0,32 |
230 |
- |
- |
- |
- |
0,18 |
306 |
- |
- |
- |
- |
|
140 |
0,36 |
233 |
0,28 |
265 |
0,16 |
350 |
||||||||
|
150 |
0,32 |
265 |
0,27 |
289 |
- |
- |
- |
- |
0,14 |
401 |
- |
- |
- |
- |
|
160 |
0,29 |
297 |
0,24 |
327 |
0,12 |
462 |
||||||||
|
170 |
0,26 |
333 |
0,21 |
371 |
- |
- |
- |
- |
0,11 |
513 |
- |
- |
- |
- |
|
180 |
0,23 |
375 |
0,19 |
413 |
- |
- |
- |
- |
0,10 |
569 |
- |
- |
- |
- |
|
190 |
0,21 |
415 |
0,17 |
461 |
||||||||||
|
200 |
0,19 |
459 |
0,16 |
500 |
||||||||||
ся итерационные методы. К числу таких методов относится метод последовательных приближений.
Порядок решения задачи следующий.
- 1. В качестве первого приближения задаемся ориентировочным значением <р.
- 2. Для значения заданной нагрузки с учетом формулы (15.48) подбираем размеры поперечного сечения.
- 3. Для найденных размеров сечения последовательно подсчитываем X, (р и определяем допускаемую нагрузку.
- 4. Сопоставляем найденную нагрузку с заданной нагрузкой. Если найденная нагрузка совпадает с заданной (с превышением в пределах допустимой погрешности), процесс прекращаем. Если найденная нагрузка существенно больше заданной, увеличиваем <р, если найденная нагрузка меньше заданной, ср уменьшаем.
- 5. Возвращаемся к и. 2.
Процесс продолжается, пока расчетная нагрузка не совпадет с заданной. Для выбора последующего пробного значения ср рационально использовать метод бисекций, или метод стрельбы, заключающийся в том, что заданное решение берут в вилку с последующим стягиванием пробного интервала к заданному решению.
В некоторых случаях существует возможность избежать итерационного решения. Для этого используется дополнительный комбинированный параметр ц:
С помощью параметра ц формулу для определения площади сечения стержня можно представить в виде
С учетом формулы (15.35) получим следующее выражение для определения значения ц:
Проанализируем соотношение
Можно показать, что для ряда часто используемых сечений этот коэффициент является постоянным и нс зависит от размеров сечения (табл. 15.3).
Таблица 153
Значение коэффициента у для характерных сечений
|
Вид сечения |
У |
|
Круглое |
4л |
|
Квадратное |
12 |
|
Прямоугольное |
12 b/h(b>h) |
Вместе с тем для стандартных прокатных профилей постоянство коэффициента (15.52) не соблюдается. Например, для двутавровых профилей имеют место соотношения, приведенные в табл. 15.4.
Таблица 15.4
Значение коэффициента у для двутавровых профилей
|
Номер двутаврового профиля |
У |
|
10-40 |
6-8 |
|
45-60 |
9-11 |
Тем не менее свойство постоянства коэффициента / можно использовать для расчета целого ряда практически важных сечений. С учетом соотношения (15.52), запишем формулу (15.51) в виде
С использованием коэффициента j/ можно решить обратную задачу подбора сечения по заданной нагрузке следующим образом.
- 1. По формуле (15.53) определяется коэффициент г для стержня с характерным поперечным сечением.
- 2. По табл. 15.2 определяется коэффициент (р для найденного значения ц.
- 3. По формуле (15.50) определяется искомая площадь поперечного сечения.
