Архимед. Динамические методы атомизма

Архимеду принадлежат и атомистические методы, которые впоследствии составили основу новоевропейской динамики Галилея — Ньютона. Впервые равноускоренное движение встречается в математических выкладках Архимеда как постепенно нарастающий ряд линий. Разберем более подробно примеры Архимеда, которые позволили построить динамику атомизма.

Следует еще раз напомнить, что механика атомизма уже в XVIII в. нс смогла выдержать конкуренцию с механикой Эйлера — Лагранжа. Тем не менее заслуги атомистической динамики, несомненно, очень велики. Ибо именно эти методы способствовали вместе с картезианством победе над аристотелевской физикой. В современной математической традиции за этими приемами закрепилось название метода интегральных сумм. Кстати, аналоги этого метода Архимеда можно найти и в XIX в. у Римана и Дарбу. Приведем два описания применения этого метода.

В виде примера метода интегральных сумм опишем решение Архимедом задачи вычисления объема эллипсоида вращения в сочинении «О коноидах и сфероидах». Коноидами и сфероидами называются тела, образованные вращением конических сечений вокруг большой оси. Коноиды — это параболоиды и гиперболоиды вращения, сфероиды — эллипсоиды вращения. Конкретному решению задачи предпослана лемма: если дан сегмент коноида, отсеченный плоскостью, перпендикулярной оси, или сегмент сфероида, отсеченный тем же способом, то можно вписать в него и описать около него фигуры, состоящие из цилиндров равной высоты, таким образом, чтобы описанная фигура превосходила вписанную меньше, чем на любую телесную (объемную) величину.

Рассмотрим сегмент эллипсоида вращения АВС (рис. 1.13). Поделим ВО на п равных частей и построим описанные и вписанные цилиндры, суммы объемов которых соответственно обозначим Vou и VBU. Их разность

равна объему цилиндрика ААт.е. П^ , который подбором достаточно

п

большого п может быть сделан сколь угодно малым.

Рис. 1.13

Когда Архимед говорит о вписанных и описанных фигурах, состоящих из маленьких цилиндриков, то речь идет о маскировке метода неделимых.

Ибо вписанные и описанные фигуры совпадают только в случае, когда количество цилиндриков будет бесконечно велико. А это возможно лишь в случае актуальной бесконечности. Именно тогда описанные цилиндрики стянутся до границ самой фигуры. А вписанные, наоборот, заполнят ступенчатые пустоты внутри исследуемой фигуры.

Объем сегмента эллипсоида вращения Архимед вычисляет при помощи суммирования маленьких цилиндриков. Каждый из этих цилиндриков при увеличении их числа до бесконечности превращается в неделимое сечение данного эллипсоида вращения. В этом случае

Данная задача оказывается сведена к суммированию квадратов натурального ряда чисел. Далее Архимед производит геометрические преобразования, эквивалентные следующим аналитическим преобразованиям:

X1^ у2 4. (12

«Так как — + = 1, то х2 = — 22) и для каждого сечения

а1 о1 о1

откуда

где v — последовательные натуральные числа. Для нахождения сумм квадратов последних Архимед применил геометрические оценки вида

данные им в сочинении “О спиралях”. Фактически он производит геометрическую оценку вида

Далее, так как nh = b> то

ь

что до известной степени эквивалентно оценке для jx2dx.

а

Из этих оценок получается

2

Аналогично V < —nba2. Но так как согласно лемме V - V < е, то иско- 3

мый объем сегмента V = 2/3nba2, т.е. равен удвоенному объему конуса с тем же основанием и высотой, что и сегмент. Единственность предела доказывается, как и во всех других случаях, приведением к противоречию»[1].

Итак, в приведенном примере опять очевидно применение атомистических методов. Весь объем одновременно делится на бесконечное количество бесконечно малых цилиндриков. Эти цилиндрики рассматриваются как бесконечно малые по высоте и потому принимаются за неделимые. Нельзя забывать, что неделимые получаются только при актуально бесконечном делении. Потенциальная бесконечность исключает неделимые, ибо в этом случае деление будет продолжаться и продолжаться без образования неделимых атомов.

Динамичность этого метода атомизма заключается в суммировании ряда квадратов натуральных чисел. Сами натуральные числа возникают здесь как показатель последовательности монотонно нарастающих цилиндриков. Бесконечно малые цилиндрики заполняют весь объем сегмента. Но это не метод исчерпывания евклидовой геометрии. В рамках последнего производится постепенное исчерпывание объема — шаг за шагом. Ведь именно такова метода потенциальной бесконечности. Архимед же сразу актуально делит объем сегмента на актуально бесконечные части.

Теперь еще раз проведем различие между динамическими и статическими методами атомизма. В данном примере видно, как монотонно уменьшается величина основания цилиндриков: ступенька за ступенькой. Динамичность заключается в том, что величина основания оказывается переменной величиной, пробегающей ряд квадратов натуральных чисел. При этом величины монотонно изменяются, как при движении. Архимед использует оценку суммы ряда квадратов натуральных чисел, которая

1

полностью соответствует современной записи интеграла видаx2dx = —х3.

3

Именно такое интегрирование вычитали у Архимеда Галилей и Ньютон в своем описании равномерного и равноускоренного движения. И эти два вида движения легли в основу динамики атомизма.

В качестве еще одного примера использования атомистических методов приведем пример трансцендентной кривой — спирали Архимеда (рис. 1.14).

Трансцендентные кривые возникли в древности именно в рамках атомистических методов. Архимед определяет площадь первого витка спирали р = (р. Спираль вводится кинематически как сумма двух равномерных движений: вращения луча вокруг точки и движения точки по лучу от центра. Для определения площади первого витка спирали Архимед делит окружность (г= а) на п частей. Каждая из частей является неделимым радиусом. Окружность рассматривается Архимедом как бесконечная сумма радиусов (неделимых атомов).

Рис. 1.14

Далее Архимед строит «две последовательности вписанных и описан-

а 2а За па

ных круговых секторов, радиусы которых —, —, —,— = а. Их площади: о п п п п

Su = ——, k = 1, 2, 3, п. Последовательности эти образуют вписанную п

и описанную фигуры, площади которых соответственно больше и меньше площади витка спирали:

или

ТТ т, 7Ш

На основании оценок, приведенных в предыдущем примере, V < —— х

099 п

п6 па- .. ка-

х — =-, а также V >-.

3 3 3

Но разность между аппроксимирующими суммами может быть сделана

с па2

сколь угодно малой. Следовательно, 5 =1.

3

Рыбников К. Л. Указ. соч. Т. 1. С. 57.

Во всех рассмотренных математических примерах Архимед использовал методы математического атомизма. Любые криволинейные объемы и площади Архимед делил на совокупности неделимых. Это позволяло представлять криволинейные фигуры как суммы прямолинейных неделимых. После чего эти прямолинейные неделимые сравниваются с линиями в прямолинейных фигурах. Это позволяет сводить площади криволинейных фигур к прямолинейным.

Таковы в общих чертах статические методы атомизма. Если же криволинейные фигуры можно разложить на монотонно возрастающие совокупности неделимых, то можно говорить о динамических методах суммирования неделимых. При этом неделимые нарастают подобно равноускоренному движению новоевропейской динамики. Последние два архимедовых примера вполне иллюстрируют этот исторически очень перспективный метод математического атомизма.

  • [1] Рыбников К. Л. История математики. В 2 т. М., 1960. Т. 1. С. 55—56.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >