Математическая статистика

Функция распределения случайной величины

Приведём некоторые необходимые определения. Математическая статистика - наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Опирается на теорию вероятностей, позволяющую оцепить надежность и точность выводов, делаемых )ia основании ограниченного статистического материала.

Теория вероятности - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятности - численная мера возможности наступления некоторого события.

Случайная величинавеличина, принимающая в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Генеральная совокупность — совокупность всех объектов, относительно которых делаются выводы при изучении конкретной проблемы.

Выборка или выборочная совокупностьмножество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании.

Объём выборкичисло случаев, включённых в выборочную совокупность.

Для того чтобы точно определить величину какого-либо параметра, необходимо провести бесконечное число измерений и получить в итоге совокупность всех мыслимых результатов. Эту бесконечную гипотетическую совокупность, предполагающую неограниченное повторение эксперимента при одних и тех же условиях, называют генеральной совокупностью. Однако в реальности получить генеральную совокупность невозможно. Приходится обходиться выборочной. Совокупность результатов измерений принято рассматривать как случайную выборку из генеральной совокупности, т. е. как выборочную совокупность.

Вероятностью Р некоторого события называют отношение числа опытов v, в которых появляется рассматриваемое событие, к общему числу опытов п, если количество опытов стремится к бесконечности:

При небольшом числе опытов величина отношения v/n носит случайный характер, приближаясь к вероятности при увеличении числа опытов.

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Распределение числовой случайной величины - функция, однозначно определяющая вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу.

Действительное переменное, которое в зависимости от исхода опыта, принимает различные значения, называется случайной величиной. Пусть X - некоторая случайная величина. Функцией распределения Fix) случайной величины X называется функция:

Здесь Р(Х<лг) — вероятность того, что случайная величина X принимает значение, меньшее л:.

Значение функции распределения в точке х0 равно вероятности того, что случайная величина принимает значение, меньшее Л'0. В теории вероятностей случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения, т.е. может рассматриваться как заданная, если задана её функция распределения.

Функция распределения произвольной случайной величины обладает следующими свойствами:

  • 1) Пт = 1
  • 2) Fix) является монотонно неубывающей, т.е. при Xt2 имеет место

FOcteFWk

3) F(x) непрерывна слева.

Если случайная величина принимает конечное число значений, то распределение задается функцией Р(Х=х), ставящей каждому возможному значению х случайной величины X вероятность того, что Х=х. Такое распределение называется распределением дискретной случайной величины. Если случайная величина принимает бесконечно много значений, то функция распределения Fxix) непрерывна, а случайная величина X называется непрерывной случайной величиной.

Дискретные функции распределения соответствуют дискретным случайным величинам. Случайная величина X называется дискретной, если она может принимать только конечное или счётное множество значений. Таким образом, она характеризуется значениями хи х....., которые

она может принимать, и вероятностями р,=Р(Х=х,), с которыми она принимает эти значения. Вероятности р, должны удовлетворять условию

У* Pj = 1. Однозначное отображение множества х, множество р, рассматри-

/

вается как функция вероятности дискретной случайной величины. Для функции распределения дискретной случайной величины имеем:

Суммирование проводится по всем i, для которых XiF{x) - сту- пенчатая функция со скачками высотой р, в точках

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. К дискретным распределениям относятся такие известные распределения, как биномиальное, геометрическое, полиномиальное, Пуассона, и др. С точки зрения радиометрии важнейшим является распределение Пуассона, поскольку флуктуации радиоактивного распада, вызывающие дополнительные погрешности при измерении активности препарата, описываются именно распределением Пуассона.

Случайная величина называется непрерывной, если её функцию распределения (интегральную функцию распределения) можно представить в виде:

Функция (f{х) называется плотностью распределения.

Замечание. Непрерывные функции распределения, используемые в вероятностностатистических методах принятия решений, имеют производные. Первая производная /(х) функции распределения F(x) называется плотностью вероятности

Так как limn_00 F(x) = 1 и limn__w F{x) = 0, то должно выполняться условие:

При заданной плотности вероятности, вероятность того, что непрерывная случайная величина попадает в заданный интервал, равна:

Непрерывные функции распределения не имеют скачков. Они монотонно возрастают при увеличении аргумента - от о при д;->-сю до 1 при дг—>+оо. К непрерывным распределениям относится нормальное (Гауссово), логарифмически нормальное, экспоненциальное, распределения Стьюден- та, Пирсона, Фишера, бета- и гамма-распределения и ряд других.

Важной проблемой является свёртка информации с тем, чтобы получить возможность сравнения формы различных кривых, описывающих распределения вероятности. Для этой цели оказался весьма полезным метод моментов, который позволяет описать основные особенности формы распределения четырьмя начальными моментами, тремя центральными и двумя основными моментами.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >