Статистические критерии

Рассмотрим два важных непрерывных распределения, важных с точки зрения статистической обработки результатов измерений.

Распределение Стьюдента

Стьюдента распределение с/степенями свободы — распределение отношения T-X/Y независимых случайных величин X и Y, где X подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием ЕХ=о и дисперсией DX=i, a JY2 имеет "Хи-квадрат"распределение с f степенями свободы.

f-Распределение Стьюдента (предложено Госсетом) — непрерывное одномерное распределение с одним параметром — количеством степеней свободы/. Обычно распределение Стьюдента появляется в задачах, связанных с оценкой математического ожидания нормально распределенных случайных величин.

Если имеется выборка величины X объёмом п из генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному распределению со средним ц, то величина

подчиняется распределению t с числом степеней свободы (п-1).

Пусть Xi, ..., Хп 0=1,...., п) — независимые случайные величины (п- число этих величин, область значений -оо<Х<+оо), одинаково нормально распределенные с математическим ожиданием р и дисперсией о22 - случайная величина с распределением х2 с /степенями свободы). Если X и а2 независимы, то оценки для параметров р и о2 имеют вид:

При этом оценка математического ожидания не равна в точности р, а лишь колеблется вокруг этой величины. Разность истинного математического ожидания и рассчитанного на основе выборки, поделённая на масштабирующий коэффициент, т.е. случайная величина

при любых действительных значениях X и s > о подчиняется распределению Стьюдента с/= п степенями свободы (параметр формы f число степеней свободы, целое положительное число).

Плотность распределения (функция вероятности)

где Г - гамма-функция Эйлера,/=п-1.

Функция распределения Стьюдента не выражается в элементарных функциях. Её можно представить в виде

IT

где 2 1 — гипергеометрическая функция.

Формально распределение Стьюдента определено при любом положительном значении параметра формы/. Распределение Стыодента сходится к стандартному нормальному при /-»со (при f>30 распределение Стьюдента уже близко к нормальному распределению). Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. f-Распределение связано с F-распределением, которое, в свою очередь, является частным случаем бета-распределения. На этом основан способ вычисления функции распределения Стыодента. Распределение Стыодента с одной степенью свободы (т.е. при/=1) есть стандартное («тяжёло- хвостное») распределение Коши: <р(х) = ~~~2-

t- распределение Стьюдента

Рис. 5. t- распределение Стьюдента: а - плотность распределения, б - интегральное распределение.

Рис. 6. Плотность распределения Стьюдента по сравнению с плотностью стандартного нормального распределения.

Распределение Стьюдента симметрично относительно среднего, равного нулю, его форма похожа на форму нормального распределения, но хвосты t- распределения медленнее стремятся к нулю, чем хвосты нормального распределения.

Распределение t симметрично относительно среднего, равного нулю; его дисперсия равна (н-1)/(п-з)

Начальные моменты находят по формуле:

Математическое ожидание = мода = медиана = о; дисперсия = = Ч, если п>3 коэффициент асимметрии Bi=o, коэффициент эксцесса

Р* = . где/>4.

Распределение Стьюдента применяют при оценивании математического ожидания, прогнозного значения и других характеристик с помощью доверительных интервалов, при проверке гипотез о значениях математических ожиданий (гипотеза о неизвестном среднем статистической выборки из нормального распределения) и др. Это распределение возникает в задаче проверки гипотезы о среднем значении (математическом ожидании) нормального распределения в случае неизвестной дисперсии.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >