Волновые уравнения

Из уравнений Максвелла получим отдельно уравнения для Е и для Я, т.е. решим систему относительно векторов поля. Из уравнения (4.2) выразим Я и подставим в уравнение (4.1):

— волновое число.

Поскольку div Е-О, У²Е + к²Е =0.

Проведем аналогичные действия относительно вектора Я:

Это уравнения Гельмгольца. Для комплексных амплитуд они выглядят следующим образом:

Электромагнитное поле, возникшее в некоторой области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. При этом происходит запаздывание его по фазе, следствием чего является волновой характер распространения, описываемый уравнениями Гельмгольца.

Различают следующие виды волн:

• • плоские волны (Т-волны), у которых векторы поля ориентированы перпендикулярно направлению распространения;
• • Е-волны, у которых вектор напряженности электрического поля Е имеет одну из проекций, ориентированную в направлении распространения поля;
• • Н-волны, у которых вектор напряженности магнитного поля Я имеет одну из проекций, ориентированную в направлении распространения поля.

Кроме того, волны могут иметь различную поляризацию.

Плоскостью поляризации называют плоскость, проходящую через направление распространения волны и направление вектора напряженности электрического поля Е.

Рассмотрим виды поляризации в режиме гармонических колебаний.

Если существуют одновременно две волны одной частоты и векторы напряженности электрического поля у них взаимно перпендикулярны, то общее поле определяется суперпозицией заданных полей:

В плоскости Z - 0 — hz = О и

Освободимся от временной зависимости. Для этого из уравнения (4.5) получим

Рис. 4.1. Эллиптическая поляризация

Из уравнения (4.6)

и из уравнения (4.8)

Возведем уравнения (4.7) и (4.9) в квадрат и сложим:

Получили каноническое уравнение эллипса (рис. 4.1). Траекторией конца вектора Е в плоскости z = const является эллипс.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Е Е Е

1. ср = 0, ——=——=>Е_Х =——Е_у—линейная поляризация (рис. 4.2, а).

Eoi Е<32 Eq2

J7

• 2. ф = л, Е_х =—Ш-Е_у — линейная поляризация (рис. 4.2, б).
• ?02

3. ср = л/2, ?₀₁ =Е₀₂;

Со временем вектор напряженности электрического поля перемещается по часовой стрелке. Это правая эллиптическая поляризация (рис. 4.2, в).

Рис. 4.2. Виды поляризации:

а, б — линейная; в — эллиптическая

4. ф = -л / 2. Этот случай соответствует волне с левой эллиптической поляризацией.

Чтобы получить волну с круговой поляризацией, исходные волны должны быть ортогонально линейно поляризованы, иметь одинаковые амплитуды и фазовый сдвиг, равный ±л/2. Волна с круговой поляризацией может быть записана в виде

В комплексной форме можно записать

Легко показать, что две волны с круговой поляризацией могут в сумме образовывать волну с линейной поляризацией.