Д.3.2. Дискретная динамическая модель продольных колебаний стержня

Рассмотрим однородный стержень постоянного поперечного сечения, подвергающийся действию каких-либо осевых динамических нагрузок (рис. Д.20, а).

Дискретную модель его продольных колебаний получают путем мысленного разбиения стержня на km частей длиной AL и сосредоточения массы т каждой части в ее центре с координатой xjf i = 1, 2, 3,п.

Массы без трения скользят по горизонтальной плоскости вдоль оси стержня и соединяются невесомыми связями, свойства которых идентичны свойствам моделируемого участка стержня (рис. Д.20, в).

При колебаниях скорость деформации высокая, поэтому закон Гука из- за упругих несовершенств материала не выполняется, так как проявляется вязкость материала.

В этом случае, как указывалось выше, закон Гука заменяется соотношением, согласно которому зависимость между напряжением, деформацией и ее скоростью имеет вид

где R — модуль вязкости материала (размерность [Н с/мм2] или [Па-с]). В этом случае материал считают вязкоупругим, его вязкость приводит к затуханию колебаний.

Продольная жесткость и вязкость участка стержня в модели приписываются связям, которые на рисунке изображены пружинками: с = ЕЛ/AL, г = = RA/AL.

Таким образом, дискретная модель продольных колебаний стержня представляется сосредоточенными массами, которые соединены пружинками, обладающими вязкоупругим и свойствами.

На рис. Д.21 показаны участок стержня и соответствующий ему фрагмент дискретной модели.

Д.21

Рис. Д.21

Если на рассматриваемый участок стержня действует внешняя возмущающая сила F/t), то ее необходимо приложить к ближайшей массе (см. рис. Д.20).

В случае нагружения распределенной погонной нагрузкой интенсивности р(х) (рис. Д.22) следует найти ее равнодействующую на рассматривае-

мом участке Fjf при этом можно использовать среднее на этом участке значение интенсивности погонной нагрузки рг

Рассматриваются малые осевые перемещения масс (и•) около положений их равновесия.

Составим уравнение движения i-й массы. Для этого, используя процедуру метода сечений, необходимо мысленно рассечь примыкающие к ней связи модели и_заменить их действие на рассматриваемую массу нормальными силами iV._, и (рис. Д.23).

Напомним, что в рассматриваемой модели массы без трения перемещаются только в осевом направлении.

Уравнения движения промежуточных (1, ..., km - 2) масс системы под действием сил записываются в обычной форме:

Здесь u^t) — осевое перемещение массы; F{(t) — внешняя (возмущающая) сила, приложенная в каком-либо сечении i-ro участка стержня. Точками обозначено дифференцирование по времени.

Здесь записаны уравнения движения масс, расположенных внутри цепочки. Силы, действующие на крайнюю левую и крайнюю правую массы, зависят от условий закрепления концов стержня, т.е. от граничных условий.

Если левый конец стержня закреплен, то при колебаниях левая и правая связи, примыкающие к «нулевой» массе, деформируются и она подвергается действию двух сил (рис. Д.24, а):

Здесь Е — модуль упругости; R — модуль вязкости материала участка стержня.

Если левый конец стержня не закреплен, то при колебаниях левая связь не деформируется и на «нулевую» массу действует только сила N{ (рис. Д.24, б).

Установив силы, действующие на массы модели, можно записать уравнения их движения. Для этого выразим внутренние силы Ni и JV)_, через осевые перемещения и скорости соответствующих масс (рис. Д.25).

Рис.Д.25

Умножив выражение (Д.44) на площадь сечения А;.

и учитывая, что

получим формулы для вычисления нормальных сил:

Подставляя выражения для нормальных сил в приведенное выше уравнение (Д.45), получим уравнение движения г-й массы в следующем виде:

При рассмотрении неоднородного стержня переменного сечения возникает необходимость в определении жесткости и вязкости соседних участков его динамической модели (рис. Д.26).

В этом случае они рассчитываются по формулам

Однако при разбиении стержня на достаточно большое количество участков можно жесткость и вязкость переходного участка принять равными жесткости и вязкости либо правой, либо левой его половины. При этом ошибка будет незначительной.

Для определения движения всех п масс модели необходимо записать п дифференциальных уравнений, аналогичных уравнению (Д.46).

Эта система уравнений интегрируется при заданных начальных условиях, которыми являются перемещения масс и их скоростей в начальный момент времени (t = 0):

Пример Д.4. Однородный стержень постоянного поперечного сечения закреплен по концам и нагружен в среднем сечении силой F(t) = Fasin(wt) (рис. Д.27). Найти зависимость максимального напряжения в стержне от частоты возмущающей силы.

Д.27

Рис. Д.27

Решение. Ниже представлено решение задачи, выполненное в системе Mathcad.

Параметры стержня (II, МПа, с, мм, кг):

Здесь Н — коэффициент вязкости материала.

Параметры модели (номер массы (/), величина (mi) и количество масс (km)):

Жесткость и вязкость связей (с, г), номер (is):

Нагрузки, входящие в правые части уравнений движения: Задание начальных перемещений и начальных скоростей масс:

Определение перемещений сечений стержня u(t):

Перемещение масс:

Скорость перемещений масс:

Па рисунке показано перемещение 7-й массы во времени:

На рисунках приведены эпюры перемещений масс в фиксированные моменты времени:

Результаты расчетов:

На рисунках приведены эпюры нормальных напряжений в различные момент времени:

Резкий рост напряжений при приближении частоты возмущающей силы к 500 с 1 объясняется, по-видимому, тем, что эта частота близка к одной из собственных частот стержня.

Найдем первые три собственные частоты стержня и проверим наше предположение.

Собственные частоты стержня:

В самом деле, частота omf6 = 500 с 1 близка к первой собственной частоте стержня.

Пример Д.5. Однородный стержень постоянного поперечного сечения на половине длины нагружен равномерно распределенной погонной нагрузкой (рис. Д.28). Сравнить максимальные нормальные напряжения в стержне при его статическом и динамическом нагружениях (при динамическом нагружении нагрузка мгновенно достигает своего максимального значения и далее остается постоянной).

Д.28

Рис. Д.28

Решение. Ниже представлено решение задачи, выполненное в системе Mathcad.

Параметры стержня (Н, МПа, мм, с, кг):

Здесь Fa — равнодействующая погонной нагрузки (Н), h и Ь — размеры прямоугольного поперечного сечения стержня (мм), М — масса стержня (кг), Я — коэффициент вязкости материала.

Статика:

Параметры модели (номер массы (г), величина (/я[/|) и количество масс (km)):

Жесткость и вязкость связей (с), номер (is) и количество (ks):

Возмущающие силы, входящие в правые части уравнений движения:

На рисунке показана постоянная во времени сила, действующая на 9-ю массу модели:

Определение перемещений сечений стержня u(t)

Задание начальных перемещений и начальных скоростей масс:

Интегрирование уравнений движения масс:

Результаты расчетов

Определение перемещений масс:

Статическое нагружение:

Динамическое нагружение:

Эпюры нормальных напряжений в фиксированные моменты времени:

Найденное значение динамического коэффициента (Кd = 1,927) показывает, что максимальное нормальное напряжение в стержне при его динамическом нагружении практически вдвое больше максимального напряжения при статическом нагружении.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >