Работа внешних сил и потенциальная энергия деформации при растяжении — сжатии

Работа внешних сил совершается на перемещениях, которые получают точки приложения сил к телу в результате деформации. Если деформации тела совершенно упруги, то после снятия нагрузки затраченная энергия возвращается телом в виде механической энергии.

Потенциальной энергией деформации называется энергия, которая накапливается в деформированном объеме в процессе наложения системы нагрузок.

Рассмотрим потенциальную энергию деформации в пределах действия закона Гука. В области упругих деформаций можно считать, что работа внешних сил полностью переходит в потенциальную энергию деформации, т. е. w = U, где w - работа внешней силы, U - потенциальная энергия деформации.

Приложим к стержню (рис. 18, а) растягивающую силу F, медленно возрастающую от нуля до конечного значения. До определенных пределов нагружения между приложенной внешней нагрузкой и вызванным ею удлинением стержня существует линейная зависимость (рис. 18, б).

Схема к определению потенциальной энергии деформации

Рис. 18. Схема к определению потенциальной энергии деформации: а) расчетная схема энергии деформации; б) линейный закон сопротивления

Сила F будет производить работу на перемещении <5, равном удлинению стержня Д/. Найдем элементарную работу ебм, произведенную текущей силой F на элементарном перемещении

Для определения полной работы, которую совершает переменная сила F на перемещении Д/, проинтегрируем выражение (26):

Исходя из геометрического смысла интеграла, можно сказать, что применительно к рассматриваемому случаю, работа силы F на перемещении, равном А/, будет численно равна площади заштрихованного треугольника и определится по формуле

Выразим перемещение 6- Д/ через внешнюю силу F:

Подставив это выражение в (27), получим

Для однородного стержня N-F, тогда

В некоторых задачах, для того чтобы исключить влияние размеров, вводят понятие удельной потенциальной энергии и. Под удельной потенциальной энергией понимается энергия, отнесенная к единице первоначального объема стержня: и = U/V0, где Уо - начальный объем стержня.

Подставив в последнюю формулу V0 = А I и выражение (28) для потенциальной энергии, получим

Единицей энергии в системе СИ является джоуль (Дж), единицей удельной энергии деформации будет джоуль на кубический метр (Дж/м3).

Потенциальная энергия деформации широко применяется в расчетной практике.

Рассмотрим примеры решения задач на растяжение - сжатие.

Пример 3. Стальная тяга длиной / = 8 м и площадью поперечного сечения А = 8 см2 под действием растягивающей нагрузки получила абсолютное удлинение Д/ = 5,7 мм. Определить величину нагрузки F и напряжения о, если известно, что модуль продольной упругости материала тяги Е= 2-106 МПа.

Решение

Находим относительное удлинение:

Пользуясь законом Гука, определим величину напряжения:

Определим величину нагрузки:

Пример 4. Определить напряжение, возникающее в поперечном сечении стального стержня, его абсолютное Д/ и относительное в удлинения, если диаметр d= 40 мм, длина / = 1,5 м, растягиваемая сила F = 100 кН, модуль упругости материала стержня Е- 2-106 МПа.

Решение

Вычислим напряжение:

Находим абсолютное удлинение:

Определяем относительное удлинение:

Пример 5. Проверить прочность заданного стального стержня (рис. 19, а) площадью поперечного сечения А= 5 см2 и определить перемещения сечений С-С и D-D если F = 70 кН, /*2= 120 кН, [а]= 150 МПа.

Расчет на прочность консольного стержня

Рис. 19. Расчет на прочность консольного стержня: а) расчетная схема стержня; б) эпюра продольных сил

Решение

Стержень имеет два участка длинами 5а и , в пределах каждого из которых продольная сила постоянна; границей участков служит место приложения силы F2.

Применяя метод сечений, определяем значение продольной силы A^i в пределах первого (правого) участка:

ЛГ,= F,=70 кН .

Этот участок испытывает растяжение, и величину считаем положительной.

В сечениях второго участка

Этот участок испытывает сжатие, и величину Mi при построении эпюры N считаем отрицательной. Эпюра продольных сил показана на рис. 19, б.

Определяем нормальные напряжения на первом и втором участках:

В пределах каждого из участков напряжения постоянны.

Так как в нашем случае сечение стержня постоянно по всей длине, то эпюра а будет подобна эпюре N и будет отличаться от нее только масштабом, поэтому в данном случае имеет смысл построить лишь одну эпюру N.

Для расчета на прочность интерес представляет то сечение, в котором возникают наибольшие напряжения, это сечение и подлежит проверке на прочность:

Таким образом, прочность данного стержня достаточная.

Теперь приступим к определению перемещений указанных сечений. Известно, что перемещение в заделке сечения В-В Д/В= 0. Перемещение какого-либо поперечного сечения стержня равно изменению длины (удлинению или укорочению) части стержня, заключенной между рассматриваемым сечением и заделкой. Так, в частности, перемещение сечения С-С относительно неподвижного сечения В-В равно укорочению участка стержня длиной 2а и сечение С-С, очевидно, переместится влево на величину

Для определения перемещения сечения D-D относительно неподвижного сечения В-В надо алгебраически просуммировать изменения длин первого и второго участков стержня. Условно примем перемещения вправо, соответствующие удлинению,

положительными, тогда

Перемещение сечения D-D, очевидно, равно полному изменению длины стержня. Таким образом стержень удлиняется, и сечение D-D перемещается вправо на 0,5 мм.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >