Косой изгиб

Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором внешние нагрузки действуют в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей балки (рис. 50; 51, а).

Рассмотрим консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, как показано на рис. 51, а. Проекции силы F на главные центральные оси инерции у и х:

Каждая из проекций располагается в одной из главных центральных плоскостей инерции стержня и, таким образом, косой изгиб можно представить сочетанием двух прямых поперечных изгибов.

Модель косого изгиба балки

Рис. 50. Модель косого изгиба балки

Косой изгиб балки

Рис. 51. Косой изгиб балки: а) разложение внешней силы по координатным осям; б) координаты выделенной точки К

В произвольном сечении на расстоянии 2 от точки приложения силы имеют место четыре внутренних силовых фактора:

- поперечные силы:

- изгибающие моменты:

Определим напряжения, возникающие в произвольной точке К рассматриваемого сечения (рис. 51,6):

- от изгибающего момента Мх

- от изгибающего момента Му

здесь у и х - координаты точки, в которой рассчитывают напряжения.

Знак напряжения зависит от характера деформации. В нашем случае оба напряжения являются растягивающими и имеют знак «плюс».

На основании принципа независимости действия сил полное нормальное напряжение в точке К равно их алгебраической сумме:

где у„ хк — координаты точки К.

Следует еще раз отметить, что косой изгиб удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб бруса относительно главных осей х и у поперечного сечения бруса, т. е. как совокупность двух прямых изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях.

При проведении расчетов на прочность условие прочности составляется для опасной точки поперечного сечения, т. е. для точки, в которой нормальные напряжения достигают максимальных значений. Самой нагруженной точкой в сечении произвольной формы является точка, наиболее удаленная от нейтральной линии, разделяющей растянутую и сжатую зоны сечения.

В связи с этим большое значение приобретают вопросы, связанные с определением положения нейтральной линии, т. е. геометрического места точек, где нормальные напряжения принимают нулевые значения.

Положение нейтральной линии можно определить с помощью формулы (61), если предположить, что точка К лежит на нейтральной линии. В этом случае нормальное напряжение в точке К равно нулю:

опустив напряжение, получим

откуда

Выразим изгибающие моменты Мх и Му через внешнюю силу F:

после сокращения получим

Как видим, положение нейтральной линии определяется тангенсом угла ее наклона а (рис. 52, б) к главной оси у.

Обозначив коэффициент при х через к, получим уравнение

вида

, Jx

где k=-tga——.

J у

Таким образом, уравнение нейтральной линии при косом изгибе (62) есть уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Определение нормальных напряжений при косом изгибе

Рис. 52. Определение нормальных напряжений при косом изгибе: а) внутренние усилия в опасном сечении; б) положение нейтральной линии и распределение нормальных напряжений по сечению

Нейтральная

линия

В общем случае, когда Jx *Jy (рис. 52, а) и, следовательно,

gp* ga, можно заключить, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к линии действия внешней силы (рис. 52, б).

Из формулы (62) следует, что для сечений с Jx=Jy (квадрат, круг, кольцо, правильный многоугольник), т. е. для сечений, у которых любые центральные оси являются главными, углы а и Р равны, и нейтральная линия перпендикулярна линии действия внешней силы. Балки такого сечения не испытывают косого изгиба.

Определение положения нейтральной линии позволяет выявить опасные точки сечения. Для этого следует построить касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Точки касания и будут являться опасными. В прямоугольном и двутавровом сечениях опасные точки расположены в углах сечений (точки А и В а найти их можно без определения положения нейтральной линии (рис. 53).

Условия прочности составляют в зависимости от свойств материала конструкции. Так, для хрупкого материала составляя- ют два условия прочности: первое - для опасной точки, находящейся в зоне растяжения, и второе - для точки, находящейся в зоне сжатия:

Определение положения опасных точек в сечении

Рис. 53. Определение положения опасных точек в сечении

Необходимость использования двух условий прочности для хрупкого материала объясняется разными механическими свойствами материала при растяжении и сжатии. Хрупкий материал плохо сопротивляется растяжению и хорошо - сжатию.

Для пластичного материала, который одинаково сопротивляется и растяжению, и сжатию, используют одно условие прочности для точки поперечного сечения, в которой имеют место максимальные по абсолютной величине нормальные напряжения:

где х и у- координаты данной точки, или

При расчетах на прочность касательными напряжениями от поперечных сил пренебрегают, так как их влияние незначительно.

Пример 14. Передняя ось грузового автомобиля нагружена со стороны рессор силами F = 10 кН (рис. 54). Определить максимальные напряжения, возникающие в оси при движении по горизонтальному пути и по дороге с подъемом в 20°, в предположении, что силы F в обоих случаях одинаковы; принять расстояние а = 480 мм.

Решение

  • 1. Рассматриваем движение автомобиля по горизонтальному пути.
  • 1.1. Составляем расчетную схему оси (рис. 54, б). В опасных сечениях, т. е. в сечениях участка СД, изгибающий момент равен

1.2. Вычисляем главные моменты инерции сечения (см. рис. 54, з):

Расчет передней оси автомобиля

Рис. 54. Расчет передней оси автомобиля: а) реальная модель нагружения; б) расчетная схема при движении автомобиля по горизонтальному пути; в) соответствующая эпюра изгибающих моментов; г) расчетная схема при движении автомобиля по дороге с подъемом; д) эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости; е) эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости

1.3. Определяем напряжения, возникающие в передней оси автомобиля при движении по горизонтальному пути. В этом случае каждая из сил F направлена вдоль оси у; максимальные растягивающие напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси (например, т. А и В):

2. Определяем напряжения, возникающие при движении автомобиля на подъем (см. рис. 54, г). В этом случае каждая из сил F образует с осью у угол 20°, тогда

При одновременном действии составляющих Fx и Fy максимальные растягивающие напряжения возникают в точке В (которая находится в растянутой зоне) и вычисляются по формуле

Вывод: из решения следует, что _?А_=1^ = 2,13. Таким

79

образом, при движении на подъем напряжение увеличивается более чем в 2 раза.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >