Показатели вариации

Средние величины, рассмотренные выше, не отражают изменчивости (вариации) значений признака.

Простейшим (и весьма приближенным) показателем вариации является вариационный размах R, равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами ряда:

Наибольший интерес представляют меры вариации (рассеяния) наблюдений вокруг средних величин, в частности, вокруг средней арифметической.

Средним линейным отклонением вариационного ряда называется средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их средней арифметической:

  • (Заметим, что «простая» сумма отклонений 2Дх,- -х)щ не может харак-
  • 1=1

теризовать вариацию признака, ибо согласно свойству 4 средней арифметической эта сумма равна нулю для любого вариационного ряда.)

Определение. Дисперсией s2 вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их

средней арифметической'.

Формулу для дисперсии вариационного ряда можно записать в виде

где Wj = п^п.

Для несгруппированного ряда (п,- 1) по формуле (8.7) имеем:

Дисперсию s2 часто называют эмпирической или выборочной, подчеркивая, что она (в отличие от дисперсии случайной величины ст2) находится по опытным или статистическим данным.

Желательно в качестве меры вариации (рассеяния) иметь характеристику, выраженную в тех же единицах, что и значения признака. Такой характеристикой является среднее квадратическое отклонение sарифметическое значение корня квадратного из дисперсии -

Рассматривается также безразмерная характеристика — коэффициент вариации, равный процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Если коэффициент вариации признака, принимающего только положительные значения, высок (например, более 100%), то эго может свидетельствовать о неоднородности значений признака.

Отметим основные свойства дисперсии, аналогичные свойствам дисперсии случайной величины.

  • 1. Дисперсия постоянной равна нулю.
  • 2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число k раз, то дисперсия увеличится (уменьшится) в fr раз-.

3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то дисперсия не изменится-.

4. Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов вариантов и квадратом средней арифметической:

где

5. Если ряд состоит из нескольких групп наблюдений, то общая дисперсия равна сумме средней арифметической групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

где s2 — общая дисперсия (дисперсия всего ряда);

— средняя арифметическая групповых дисперсий;

— межгрупповая дисперсия.

Формула (8.12), известная в статистике как «правило сложения дисперсий», имеет важное значение в статистическом анализе.

О Пример 8.6. Вычислить дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации распределения рабочих по выработке по данным табл. 8.1.

Решение. В примере 8.3 было получено х = 119,2(%). По определению (8.5) дисперсия

Среднее квадратическое отклонение s = J87,48 = 9,35(%); коэффициент вариации по формуле (8.9) г> = (9,35/119,2)100 = 7,8(%).

Следует отметить, что вычисление дисперсии (особенно в случае, когда

отклонения от средней (ж,-ж)2выражаются нецелыми числами), а сами х{ целые, удобнее проводить по формуле (8.10). Например, в данном примере вначале по формуле (8.11) найдем

Теперь по формуле (8.10)

О Пример 8.7. Имеются следующие данные о средних и дисперсиях заработной платы двух групп рабочих (табл. 8.3).

Таблица 8.3

Группа рабочих

Число

рабочих

Средняя заработная плата одного рабочего в группе (ден. ед.)

Дисперсия

заработной

платы

Работающие на одном станке

40

2400

180 000

Работающие на двух станках

60

3200

200 000

Найти общую дисперсию распределения рабочих но заработной плате и его коэффициент вариации.

Решение. Найдем общую среднюю но формуле (8.5):

Найдем среднюю групповых дисперсий по формуле (8.13):

Найдем межгрупповую дисперсию по формуле (8.15):

Используя правило сложения дисперсий (8.12), найдем общую дисперсию заработной платы и ее среднее квадратическое отклонение:

По формуле (8.9) коэффициент вариации

  • 8.4. Упрощенный способ расчета средней арифметической и дисперсии
  • 19
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >