Начальные и центральные моменты вариационного ряда

Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда являются частными случаями более общего понятия — моментов вариационного ряда.

Начальный момент vk к-го порядка вариационного ряда[1] определяется по формуле

Очевидно, что щ=х, т.е. средняя арифметическая является начальным моментом первого порядка вариационного ряда.

Центральный момент к-го порядка вариационного ряда определяется

по формуле

С помощью моментов распределения можно описать нс только среднюю тенденцию, рассеяние, но и другие особенности вариации признака.

Очевидно, в силу свойства (8.4), что р, =0, а р2 =s2> т-е- центральный момент первого порядка для любого распределения равен нулю, а — второго порядка является дисперсией вариационного ряда.

Коэффициентом асимметрии вариационного ряда называется число

Если А = 0, то распределение имеет симметричную форму, т.е. варианты, равноудаленные от х , имеют одинаковую частоту. При А > О (Л < 0J говорят о положительной (правосторонней) или отрицательной (левосторонней) асимметрии.

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) вариационного ряда называется число

Эксцесс является показателем «крутости» вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением. Как отмечено выше (параграф 4.7), эксцесс нормально распределенной случайной величины равен нулю.

Если Ё > ()(/;' < ()), то полигон вариационного ряда имеет более крутую (пологую) вершину по сравнению с нормальной кривой.

О Пример 8.9. Вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс распределения рабочих по выработке по данным табл. 8.1.

Решение. Коэффициент асимметрии и эксцесс вариационного ряда, приведенного в табл. 8.1, найдем по формулам (8.21) и (8.22):

В силу того, что коэффициент асимметрии А отрицателен и близок нулю, распределение рабочих по выработке обладает незначительной левосторонней асимметрией, а поскольку эксцесс Ё близок нулю, рассматриваемое распределение по крутости приближается к нормальной кривой. ?

Средняя арифметическая х , дисперсия s2 и другие характеристики вариационного ряда являются статистическими аналогами математического ожидания М(Х), дисперсии а2 и соответствующих характеристик случайной величины X.

В табл. 8.5 приведено соответствие терминов (обозначений, формул) вариационного ряда и случайной величины. Подчеркнем, что вариационный ряд рассматривается в дальнейшем как одна из реализаций распределения признака (случайной величины)1 X.

Таблица 8.5

Вариационный ряд

Случайная величина

Обозначения,

формулы

Термин

Обозначения,

формулы

Термин

Дискретный

ряд

Дискретная

случайная

величина

Интервальный ряд

Непрерывная

случайная

величина

X,-

Вариант

XX

Значение

случайной

величины

W,, W

Частость

Рг Р> Р

Вероятность

Полигон,

гистограмма

Полигон (многоугольник) распределения вероятностей, кривая распределения

Fn(x) = w(X

Эмпирическая функция распределения

F(x) = Р (X < х)

Функция распределения

т

x = Yjxiwi 1=1

Средняя

арифметиче

ская

a = M(X) = ftxipi 1=1

Математическое ожидание*

1 Если для характеристик вариационного ряда используются те же буквенные выражения, что и для случайной величины, то обозначения этих характеристик дополняются знаком ~ («тильда»).

Окончание табл. 8.5

Вариационный ряд

Случайная величина

Обозначения,

формулы

Термин

Обозначения,

формулы

Термин

S2 = (х- г)2 =

т о

= 2 (*«•-*) wi 1=1

Дисперсия

а2 = М[Х-М(Х)]2 = = t(*i-«)2 Pi

i=1

Дисперсия*

Среднее квадратическое отклонение

а = Л/Д»(Х) = 7^2

Среднее квадратическое отклонение

Mo

Мода

Мо(Х)

Мода

Me

Медиана

Ме{Х)

Медиана

m

h = Z4wi

i=i

Начальный момент k-ro порядка

п

Vk = lxiPi 1=1

Начальный момент /е-го порядка’

Vk = L(xi-x) wi

i=i

Центральный момент k-ro порядка

i=l

Центральный момент &-го порядка*

Л = р3Д3

Коэффициент асимметрии

Л = Рз/а3

Коэффициент

асимметрии

? = p4/s4 -3

Эксцесс

? = р44- 3

Эксцесс

* Формула приведена для дискретной случайной величины.

  • [1] См. сноску на с. 264.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >