Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Посмотреть оригинал

Проверка гипотез о равенстве долей признака в двух и более совокупностях

Сравнение долей признака в двух совокупностях — достаточно часто встречающаяся на практике задача. Например, если выборочная доля признака в одной совокупности отличается от такой же доли в другой совокупности, то указывает ли это на то, что наличие признака в одной совокупности действительно вероятнее, или полученное расхождение долей является случайным?

Сформулируем задачу. Имеются две совокупности, генеральные доли признака в которых равны соответственно р{ и р2. Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных долей, т.е. Н0: рх = р2. Для проверки гипотезы //0 из этих совокупностей взяты две независимые выборки достаточно большого объема1 пх и п2 Выборочные доли признака равны

Ttli ТПп

соответственно wA =—- и =—-, где т, и — соответственно число

щ п2

элементов первой и второй выборок, обладающих данным признаком.

При достаточно больших пх и п2, как отмечено в параграфе 9.5, выборочные доли wx и w2 имеют приближенно нормальный закон распределения с мате-

Pl(l-Pl) P2^-Pl)

матическими ожиданиями рх и р2 и дисперсиями - и --,

П п2

( P(l-P) ( P2(l“P2)l

т.е. соответственно N р.—^-- и N р21-- . При справедливо-

v. п ) V п2 )

1

Здесь ограничиваемся рассмотрением случая больших по объему выборок.

сти гипотезы Н0х2 разность щ - w2 имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием M(wx - w2 )=р-р=0 и дисперсией

{ 1 N

ст2 = а2 + а2 =р(-р — + — . Поэтому статистика

,Г| "'2 У Щ П2)

имеет стандартное нормальное распределение А'(0; 1).

В качестве неизвестного значения р, входящего в выражение статистики t, берут ее наилучшую оценку р , равную выборочной доле признака, если две выборки смешать в одну, т.е.

Выбор типа критической области и проверка гипотезы Я0 осуществляются так же, как и выше, при проверке гипотезы о равенстве средних.

О Пример 10.4. Контрольную работу по высшей математике по индивидуальным вариантам выполняли студенты двух групп первого курса. В первой группе было предложено 105 задач, из которых верно решено 60, во второй группе из 140 предложенных задач верно решено 69. На уровне значимости 0,02 проверить гипотезу об отсутствии существенных различий в усвоении учебного материала студентами обеих групп.

Решение. Имеем гипотезу #0: рх = р2 = р, т.е. доли решенных задач студентами первой и второй групп равны. В качестве альтернативной возьмем гипотезу Я,: рх±р2.

При справедливости гипотезы Я0 наилучшей оценкой р будет в соответствии - 60 + 69 129 ^

с равенством (10.10) р = —-—; = 0,527. Выборочные доли решенных

т, 60 т2 69

задач для каждой группы w, = L- —- = 0,571 и w2= —- =-= 0,493 . Сга-

н, 105 ni 140

тистика критерия по формуле (10.9)

При конкурирующей гипотезе Нх выбираем критическую двустороннюю область, границы которой определяем из условия (10.7): ф(гкр) = 1-0,02 = 0,98, откуда по табл. II приложений tкр = Г098 = 2,33. Фактическое значение критерия меньше критического, т.е. t < ?098 , следовательно, гипотеза Я0 принимается, т.е. полученные данные не противоречат гипотезе об одинаковом уровне усвоения учебного материала студентами обеих групп. ?

Сравнение долей признака в нескольких совокупностях. Пусть имеется / совокупностей, генеральные доли которых равны соответственно Ру Р‘Ь —> Ре Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных долей, т.е. #0: Р= Р2 = ••• п или:Pi~Р О = 2, ..., /). Для проверки гипотезы Н0 из этих совокупностей отобраны / независимых выборок достаточно больших объемов п2,г?/. Выборочные доли признака равны соответственно = т{/п{, = п2> •••> Щ-щ/Я/, гДе — число элементов г-й выборки (г = 1, 2,..., /), обладающих данным признаком.

Можно показать, что при справедливости гипотезы #0 и при гг —»со статистика

имеет ^-распределение с / - 1 степенями свободы.

В качестве неизвестного значения /г, входящего в выражение (10.11), берут наилучшую оценку для р, равную выборочной доле признака, если все / выборок смешать в одну, т.е.

Для проверки гипотезы /70 обычно берут правостороннюю критическую область. Гипотеза #0 отвергается, если у} >Xaj- > гДе %aj- ~ критическое значение критерия %2, определяемое на уровне значимости а при числе степеней свободы 1—1.

t> Пример 10.5. По условию примера 10.4 на уровне значимости а = = 0,05 выяснить, можно ли считать, что различия в усвоении учебного материала студентами четырех групп первого курса существенны. Дополнительные условия: для третьей группы ттг3 = 63, п3 = 125, для четвертой группы тА = 105, пА = 160.

Решение. Выдвигаем гипотезу #0: р{ = р2 = Рз = Р = р или рх = р (г = 1, 2, 3, 4), т.е. доли решенных задач всех групп равны.

Вычислим по формуле (10.12) оценку р :

Выборочные доли решенных задач для каждой группы: wx = 0,571, wx = 0,499 (см. пример 10.4), w3 = 63/125 = 0,504, = 105/160 = 0,656.

Статистика критерия по формуле (10.11)

По табл. V приложений %оо5-з~7,82. Так как Х2>Хоозз (9,87 >7,82), то гипотеза Я0 отвергается, т.с. различие в усвоении учебного материала студентами четырех групп значимо или существенно на уровне а = 0,05. ?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы