Проверка гипотез о числовых значениях параметров

Гипотезы о числовых значениях встречаются в различных задачах. Пусть хх (i =1,2,..., п) — значения некоторого параметра изделий, производящихся станком автоматической линии, и пусть а — заданное номинальное значение этого параметра. Каждое отдельное значение xi может, естественно, как-то отклоняться от заданного номинала. Очевидно, для того, чтобы проверить правильность настройки этого станка, надо убедиться в том, что среднее значение параметра у производимых на нем изделий будет соответствовать номиналу, т.е. проверить гипотезу Я0: х0 = а против альтернативной Яр х^Фа, или Н2: х0<а, или Н2: х$>а.

При произвольной настройке станка может возникнуть необходимость проверки гипотезы о том, что точность изготовления изделий по данному параметру, задаваемая дисперсий а2, равна заданной величине о$, т.е. Я0: а2 = Oq или, например, того, что доля бракованных изделий, производимых станком, равна заданной величине р0, т.е. Я0: р = р0 и т.д.

Аналогичные задачи могут возникнуть, например, в финансовом анализе, когда по данным выборки надо установить, можно ли считать доходность актива определенного вида или портфеля ценных бумаг, либо ее риск равным заданному числу; или по результатам выборочной аудиторской проверки однотипных документов нужно убедиться, можно ли считать процент допущенных ошибок равным номиналу, и т.п.

В общем случае гипотезы подобного типа имеют вид Я0: 0 = Д0, где 0 некоторый параметр исследуемого распределения, а Д0 — область его конкретных значений, состоящая в частном случае из одного значения.

При проверке гипотезы указанного типа можно использовать тот же подход, что и в параграф 10.2 (см., например, проверку гипотезы Я0: а = а0 против альтернативной Яр а = а{> а0 при известной дисперсии а2 в примере 10.1).

Соответствующие критерии проверки гипотез о числовых значениях параметров нормального закона приведены в табл. 10.2.

Таблица 10.2

Нулевая

гипотеза

Предположения

Статистика

критерия

Альтернативная

гипотеза

Критерий отклонения гипотезы

а = ао

а2

известна

* _ х-а0 о 4ri

а-ах > 620j а - ах < а0 J

62 — 62| 62q

И > ?1-2а М>*1-а

а2

неизвестна

*_ х-ао sjyjn- 1

  • 62 — 62 j ^ 62q j
  • 62 = 62j < 620 j а = алФа0

И > ?-2а,п-

| ^ | ^ ?-а,п-

о2=аЪ

а

неизвестно

ns2

X

°0

a2 =af >а^

a2 <а^

а2 = ст^ * с?5

X2 > Х«;„-1 х2 < Xl-a;«-l

X2 > Ха/2;п-1 либо

X2 < Xl-a/2;n-l

Окончание табл. 10.2

Нулевая

гипотеза

Предположения

Статистика

критерия

Альтернативная

гипотеза

Критерий отклонения гипотезы

Р = Ро

Достаточно большие п

м-Ро

yjPoVoln

P = Pl>Pol P = Pl

И > ^1-2а

| ^ | ^ ^1-а

Примечание. Критические значения статистик на уровне значимости а определяют по соответствующим таблицам приложений исходя из соотношений:

0 Пример 10.8. На основании сделанного прогноза средняя дебиторская задолженность однотипных предприятий региона должна составить «0= 120 ден. ед. Выборочная проверка 10 предприятий дала среднюю задолженность х = 135 ден. ед., а среднее квадратическое отклонение задолженности 5 = 20 ден. ед. На уровне значимости 0,05: а) выяснить, можно ли принять данный прогноз; б) найти мощность критерия, использованного в п. а); в) определить минимальное число предприятий, которое следует проверить, чтобы обеспечить мощность критерия 0,975.

Решение, а) Проверяемая гипотеза #0: х00 = 120. В качестве альтернативной возьмем гипотезу Н{: х0=а^ = 135. Так как генеральная дисперсия а2 неизвестна, то используем ^-критерий Стьюдента. Статистика

х - а 135-120

критерия в соответствии с табл. 10.2 равна t = , ,—= =— , =2,25.

s/yjn-1 20/V10-1

Критическое значение статистики tx_2. o,o5;io-i= %);9 = 1»83.

Так как 111 > ?09;9 (2,25 > 1,83), то гипотеза Н0 отвергается, т.е. на 5%-ном

уровне значимости сделанный прогноз должен быть отвергнут.

б) Так как а{ = 135 > а0 = 120, то критическая область правосторонняя и критическое значение выборочной средней

т.е. критическая область значений для х есть интервал (132,2; +<х>). Мощность критерия (см. параграф 10.2) равна вероятности Р отвергнуть гипотезу Н0, когда верна гипотеза #t, т.е.

где 0 (?, п - 1) — функция, выражающая вероятность попадания случайной величины, имеющей ^-распределение Стъюдента, на отрезок (-1, t)

(аналогична функции Лапласа для нормального распределения (см. параграф 9.7));

По табл. IV приложений[1] 0 (-0,42; 9) = -0 (0,42; 9) ~ -0,31.

Итак, Р = |-|е(-0,42;9)Л(1 + 0,31)~0,6б.

в) Воспользуемся решением примера 10.1, б), в котором формула <10.1') объема выборки была получена для случая нормального закона распределения х , когда известна генеральная дисперсия а[2]. Так как у нас а[2] не известна, а известна лишь ее выборочная оценка s[2], то статистика Крите-

рия t = ——. 0 имеет ^-распределение Стьюдента (см. табл. 10.2), и соот- s / v п -1

ветствующая скорректированная формула (10.Г) для п примет вид

При а = 0,05, р = 0,025 (ибо по условию мощность критерия 1 - р = 0,975), а0 = 120, ах = 135, s = 20 получим:

Так как правая часть равенства сама зависит от неизвестного значения п, то п находится приближенно подбором. Так, при п = 20, п = 30 равенство (*) не выполняется (например, при п = 20

  • 20 *y(t0,9;19 + W>)[2] =у(1,73 +2,09)2 = 24,7), а при п = 25
  • 25 * у(*о,9;24 + W)[2] =у(1,71 + 2,06)[2] = 25,3.

Следовательно, необходимо проверить 25 предприятий. ?

Аналогично проверяются и другие гипотезы о числовых значениях параметров в соответствии с критериями проверки, приведенными в табл.

10.2.

При проверке статистических гипотез есть идругой подход, основанный на том, что выше (в параграфе 9.3) для параметров х0,р, а2 были построены доверительные интервалы. И если параметр х0 (или р, или а2) не попадает в доверительный интервал с надежностью у = 1-а, т.е. попадает в критическую область, то гипотеза Я0 отвергается; в противном случае полагают, что имеющиеся данные не противоречат гипотезе Я0.

Достоинством такого подхода, основанного на построении доверительного интервала для параметра, является то, что кроме проверки гипотезы Я0 получается дополнительная информация о возможных истинных значениях параметра. Однако этот подход применим, если в качестве конкурирующих выступают гипотезы типа х0Фа, рф р0, о2 * , предполагающие выбор двусторонней критической области.

0 Пример 10.9. По данным примера 9.10 на уровне значимости а ~ 0,05 проверить гипотезу о том, что средняя выработка рабочих всего цеха равна 121%.

Решение. Проверяемая гипотеза Я0: д:0 = 121(%). Конкурирующая гипотеза Я,: х0Ф12. В примере 9.10 с надежностью у~ 1 — 0,05 = 0,95 построен доверительный интервал для Т0: 117,33 < х0 < 121,07. Так как значение а = 121 принадлежит этому интервалу, то гипотеза Я0 не отвергается, т.е. имеющиеся данные не противоречат предположению о том, что средняя выработка рабочих равна 121%. ?

О Пример 10.10. По данным примера 9.11 на уровне значимости а = 0,05 проверить гипотезу о том, что доля нестандартных деталей во всей партии равна 12%.

Решение. Проверяемая гипотеза Я0: р = 0,12 (или 12%). Конкурирующая гипотеза Я,: рФ0,12. В примере 9.11 с надежностью у = 1 — 0,05 = 0,95 построен доверительный интервал для р: 0,044 < р < 0,116. Так как значение р0= 0,12 не принадлежит этому интервалу, то на уровне значимости а = 0,05 гипотеза Я0 отвергается, т.е. имеющиеся данные не позволяют считать, что в партии находится 12% нестандартных деталей. ?

1> Пример 10.11. По данным примера 9.17 па уровне значимости а - 0,1 проверить гипотезу о том, что среднее квадратическое отклонение суточной выработки работниц равно 20 м/ч.

Решение. Проверяемая гипотеза Я0: а2 = 202=400. Конкурирующая гипотеза Я,: а2 *400. В примере 9.17 с надежностью у = 1-0,1 = 0,9 получен доверительный интервал для о2: 157,3 < а2 <468,9. Так как значение Gjj =400 принадлежит этому интервалу, то на уровне значимости а = 0,1 гипотеза Я0 нс отвергается, т.е. имеющиеся данные не противоречат предположению о том, что среднее квадратическое отклонение суточной выработки работниц равно 20 м/ч. ?

  • [1] Так как непосредственно значений 0(f, п) в данной таблице нет, «внутри» ее в строкеk = 9 находим близкие к 0,42 значения 0,40 и 0,54, соответствующие вероятностям у = 0,3
  • [2] и у = 0,4, т.е. 0(0,40; 9) = 0,3, и 0(0,54; 9) = 0,4, а искомое значение 0(0,42; 9) » 0,31 находиминтерполированием.
  • [3] и у = 0,4, т.е. 0(0,40; 9) = 0,3, и 0(0,54; 9) = 0,4, а искомое значение 0(0,42; 9) » 0,31 находиминтерполированием.
  • [4] и у = 0,4, т.е. 0(0,40; 9) = 0,3, и 0(0,54; 9) = 0,4, а искомое значение 0(0,42; 9) » 0,31 находиминтерполированием.
  • [5] и у = 0,4, т.е. 0(0,40; 9) = 0,3, и 0(0,54; 9) = 0,4, а искомое значение 0(0,42; 9) » 0,31 находиминтерполированием.
  • [6] и у = 0,4, т.е. 0(0,40; 9) = 0,3, и 0(0,54; 9) = 0,4, а искомое значение 0(0,42; 9) » 0,31 находиминтерполированием.
  • [7] и у = 0,4, т.е. 0(0,40; 9) = 0,3, и 0(0,54; 9) = 0,4, а искомое значение 0(0,42; 9) » 0,31 находиминтерполированием.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >