Понятие о проверке гипотез методом последовательного анализа

Выше (см. параграф 10.2) было показано, что, используя наиболее мощный критерий отношения правдоподобия для проверки простой гипотезы Я0 против альтернативной при заданных уровне значимости а и мощности критерия 1-(3, можно найти обеспечивающий их минимальный объем выборки п (см. формулу (10.Г)). Снизить это значение п при фиксированном объеме выборки невозможно.

Рассматриваемый ниже метод последовательного анализа в принципе делает возможным при тех же значениях а и 1 - р заметное (в среднем) уменьшение п, что особенно актуально, если каждое наблюдение является дорогостоящим или труднодоступным. Этот метод принципиально отличается от классического тем, что при его использовании заранее не устанавливается объем выборки п. Испытания проводятся так, что после каждого из них принимается одно из трех решений:

  • — нулевую гипотезу Я0 принять х отклонить);
  • — альтернативную гипотезу Н{ принять (Я0 отклонить);
  • — провести еще одно испытание в случае неопределенности в принятии гипотезы Я0 или Н{.

Следовательно, до проведения испытаний заранее неизвестно, на каком шаге испытаний Я будет принято решение о принятии гипотезы Я0 или Hv т.е. N — случайная величина с возможными значениями п.

В качестве критериев принятия гипотезы 7/0 или Нх берутся такие, которые при заданных вероятностях ошибок первого рода а и второго рода р обеспечивают минимум математического ожидания M(N).

Наилучшим среди таких критериев является последовательный критерий отношений правдоподобия (критерий Вальда)

где Lo(xi9 х2, ..., хп) и L{(xv х2п) — функции правдоподобия при условии справедливости гипотезы Н0 или Н{ (см. параграф 10.2).

Значение критерия X определяется после каждого испытания. Испытания после п-то шага заканчиваются: принятием проверяемой гипотезы #0, если

принятием альтернативной гипотезы Я,, если

проведением еще одного испытания, если

Процесс проведения испытаний продолжается до тех пор, пока не будет принята гипотеза Н0 или Н{.

Проиллюстрируем метод последовательного анализа на примере контроля качества продукции.

Пусть проверяется нулевая гипотеза #0 о том, что вероятность брака в партии изделий не превышает нормативного значения р', т.е. Н0: р< р' против альтернативной гипотезы Н{. р>р

Заданы граничные значения вероятностей1 р0 и Р(Ро<р'<Р) и вероятностей ошибок первого рода а и второго рода р. Все множество значений р можно разбить на непересекающиеся три области (рис. 10.10).

Рис. 10.10

  • 1 С целью упрощения схему проверки сложной гипотезы: Я(): р < // против альтернативной Яр р > р’ мы сводим к проверке простой гипотезы Я0: р = р()0 < //) против альтернативной Я,: р =р, (р, > р').
  • 10.9. Понятие о проверке гипотез методом последовательного анализа

Пусть после проверки п изделий число бракованных из них составляет т с вероятностями р0 и р{ и стандартных п - т с вероятностями 1 - р0 и 1 - pv если верны соответственно гипотезы #0 и Нх. Тогда критерий (10.26) примет вид

Подставляя значение А, в формулы (10.27)—(10.29), получим (после преобразований) соответственно условия принятия гипотезы Н0 или Н{, или продолжения испытаний:

где числа

называются соответственно приемочными и браковочными числами.

Пусть, например, в результате испытаний изделия с номерами 1, 4 оказались бракованными, а с номерами 2, 3, 5, 6 — стандартными. Пусть при заданных значениях а,$,р$,Р линейные функции аргумента п-ап (10.32) и Ьп (10.33) имеют вид прямых, показанных на рис. 10.11.

Рис. 10.11

Как видно из рис. 10.11, полученная по результатам испытаний ломаная т(п) выходит из области неопределенности при п = 6, т.е. достаточно шести испытаний для принятия гипотезы (в данном случае гипотезы Н{).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >