Интервальная оценка функции регрессии

Построим доверительный интервал для функции регрессии, т.е. для условного математического ожидания МГ(У), который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) у = 1 - а накрывает неизвестное значение MX.(Y).

Найдем дисперсию групповой средней ух, представляющей выборочную оценку MX(Y). С этой целью уравнение регрессии (12.15) представим в виде

На рис. 13.1 линия регрессии (13.7) изображена графически. Для произвольного наблюдаемого значения г/; выделены его составляющие: средняя г/, приращение bi(xi-х), образующие расчетное значение ух, и возмущение е,.

Рис. 13.1

Дисперсия групповой средней равна сумме дисперсий двух незави- с и м ы х[1] слагаемых выражения (13.7):

(Здесь учтено, что (х-х) — неслучайная величина, при вынесении которой за знак дисперсии ее необходимо возвести в квадрат.)

Дисперсия выборочной средней у согласно формуле (9.16)

Для нахождения дисперсии представим коэффициент регрессии в виде[2]

Тогда

Найдем оценку дисперсии групповых средних (13.8), учитывая формулы (13.9) и (13.11) и заменяя а[2] ее оценкой s[2]:

„ Ух~ MAY)

Исходя из того, что статистика t = —--- имеет /-распределение

sy.x

Стьюдента с k = п - 2 степенями свободы, можно (аналогично тому, как это сделано в параграфе 9.7) построить доверительный интервал для условного математического ожидания

где ,v(/> = стандартная ошибка групповой средней ух.

Из формул (13.12) и (13.13) видно, что величина доверительного интервала зависит от значения объясняющей переменной х: при х = х она минимальна, а по мере удаления х от х величина доверительного интервала увеличивается (рис. 13.2). Таким образом, прогноз значений (определение неизвестных значений) зависимой переменной у по уравнению регрессии оправдан, если значение объясняющей переменной не выходит за диапазон ее значений по выборке (причем тем более точный, чем ближе х к х ). Другими словами, экстраполяция кривой регрессии, т.е. ее использование вне пределов обследованного диапазона значений объясняющей переменной (даже если она оправдана для рассматриваемой переменной исходя из смысла решаемой задачи) может привести к значительным погрешностям.

Рис. 13.2

Построенная доверительная область для MX(Y) (см. рис. 13.2) определяет местоположение модельной линии регрессии (т.е. условного математического ожидания), но не отдельных возможных значений зависимой переменной, которые отклоняются от средней. Поэтому при определении доверительного интервала для индивидуальных значений у$ зависимой переменной необходимо учитывать еще один источник вариации — рассеяние вокруг линии регрессии, т.е. в оценку суммарной дисперсии s2 следует включить величину s2. В результате оценка дисперсии индивидуальных значений у0 при х = х0 равна

а соответствующий доверительный интервал для прогнозов индивидуальных значений будет определяться по формуле

[> Пример 13.1. Имеются следующие данные (условные) о сменной добыче угля на одного рабочего Y (т) и мощности пласта X (м), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах (табл. 13.1).

Таблица 13.1

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Xi

8

11

12

9

8

8

9

9

8

12

Vi

5

10

10

7

5

6

6

5

6

8

Оценить сменную среднюю добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м. Найти 95%-ные доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на 1 рабочего для таких же шахт.

Решение. Вначале аналогично тому, как это сделано в примере 12.1, составим уравнение регрессии* [5] [6]. Получим (рекомендуем читателю полу-

10 10 10 10

чить самостоятельно) ?.г,=94, ?х? = 908, ?г/,=68, ^у? = 496,

Ю 1=1 1=1 i'=l /=1

= 664 и уравнение регрессии ух= -2,75 + 1,016г, т.е. при увеличении

*=1

мощности пласта X на 1 м добыча угля на одного рабочего Yувеличивается в среднем на 1,016 т (в уел. ед.).

Надо оценить условное математическое ожидание М^8(У). Выборочной оценкой М^8(У) является групповая средняя г/Л^8, которую найдем по уравнению регрессии: ух=8 = -2,75 + 1,016 • 8 = 5,38 (т).

Для построения доверительного интервала для MX=S(Y) необходимо знать дисперсию его оценки, т.е. s~ g. Составим вспомогательную таблицу

(табл. 13.2) с учетом того, что х = 9,4 (м), а значения ух. определяются по полученному уравнению регрессии.

Таблица 13.2

8

11

12

9

8

8

9

9

8

12

1

(*/- х)[7]

1,96

2,56

6,76

0,16

1,96

1,96

0,16

0,16

1,96

6,76

24,40

ух. = -2,75 + + 1,01 6а-,

5,38

8,43

9,44

6,39

5,38

5,38

6,39

6,39

5,38

9,44

CN

  • 1
  • 58)

II

0,14

2,48

0,31

0,37

0,14

0,39

0,15

1,94

0,39

2,08

8,39

= 1,049, по формуле (13.12):

  • 8,39
  • 10-2

Теперь имеем по формуле (13.6): s[7] =

и

По табл. IV приложений ?095;8 = 2,31. Теперь по формуле (13.13) искомый доверительный интервал:

или

Итак, средняя сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м с надежностью 0,95 находится в пределах от 4,38 до 6,38 т.

Чтобы построить доверительный интервал для индивидуального значения у* 8> найдем дисперсию его оценки по формуле (13.14):

и

Далее искомый доверительный интервал получим по формуле (13.15): 5,38-2,31 • 1,113 < у* о <5,38 + 2,31 • 1,113

Xq-O

или 2,81 < у* „<7,95.

Таким образом, индивидуальная сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м с надежностью 0,95 находится в пределах от 2,81 до 7,95 т. ?

  • [1] Доказательство этого факта здесь не приводится.
  • [2] Раскрыв скобки и разделив числитель и знаменатель выражения (13.10) на п, нетруднополучить уже знакомое выражение (12.17).
  • [3] Раскрыв скобки и разделив числитель и знаменатель выражения (13.10) на п, нетруднополучить уже знакомое выражение (12.17).
  • [4] Раскрыв скобки и разделив числитель и знаменатель выражения (13.10) на п, нетруднополучить уже знакомое выражение (12.17).
  • [5] 1т п
  • [6] В расчетах полагаем п$ = wf = rij= l,j = i, a заменяем ? так как исходные данные
  • [7] не сгруппированы. »=!)=! 1=1
  • [8] не сгруппированы. »=!)=! 1=1
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >