Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационар- н ы е[1] временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

Временной ряд xt (t = 1,2, ..., п) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей п наблюдений х{, х2п такое же, как и п наблюдений х1+т, х2+Т,..., хп+Т при любых п, t и т. Другими словами, свойства строго стационарных рядов xt не зависят от момента t, т.е. закон распределения и его числовые характеристики не зависят от t. Следовательно, математическое ожидание ax(t) = а, среднее квадратическое отклонение ox(t) = o (см. параграф 7.1) могут быть оценены по наблюдениям xt (t = 1, 2,..., п) по формулам

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда х2, хп и х1+т, x2+v ..., хп+Т (сдвинутых относительно друг друга на т единиц, или, как говорят, с лагом т) может быть определена с помощью коэффициента корреляции

ибо M(xt) = M (xt+x ) = а, gx (t) = ах (t + т) = а .

Так как коэффициент р(т) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость р(т) — автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда xt (t = 1, 2, ..., п) автокорреляционная функция р(т) зависит только от лага т, причем р(-т) = р(т), т.е. при изучении р(т) можно ограничиться рассмотрением только положительных значений т.

Статистической оценкой р(т) является выборочный коэффициент автокорреляции гт, определяемый по формуле коэффициента корреляции (12.35 ), в которой xi = хр ух — xt+v а п заменяется на п - т:

Функцию гт называют выборочной автокорреляционной функцией, а ее график — коррелограммой.

При расчете гх следует помнить, что с увеличением т число я - т пар наблюдений уменьшается, поэтому лаг т должен быть таким, чтобы

число п - т было достаточным для определения гх. Обычно ориентируются на соотношение т < п/4.

Для стационарного временного ряда с увеличением лага т взаимосвязь членов временного ряда xt и xt+x ослабевает и автокорреляционная функция р(т) должна убывать (по абсолютной величине). В то же время для ее выборочного (эмпирического) аналога rv особенно при небольшом числе пар наблюдений п - т, свойство монотонного убывания (по абсолютной величине) при возрастании т может нарушаться.

О Пример 14.1. По данным табл. 14.1 для временного ряда yt найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов т = 1; 2).

Решение. Среднее значение временного ряда находим по формуле (14.1):

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение можно вычислить по формуле (14.2), но в данном случае проще использовать соотношение

где

Найдем коэффициент автокорреляции гт временного ряда (для лага т = 1), т.е. коэффициент корреляции между последовательностями семи пар наблюдений yt и ум (t = 1, 2,7):

У,

213

171

291

309

317

362

351

У'+т

171

291

309

317

362

351

361

Вычисляем необходимые суммы:

Теперь по формуле (14.4) коэффициент автокорреляции

Вычисление коэффициента автокорреляции г2 временного ряда y(t) для лага т = 2, т.е. коэффициента корреляции между последовательностями шести пар наблюдений уг и yt+2 предлагаем провести читателю самостоятельно. ?

Знание автокорреляционной функции гт может оказать существенную помощь при подборе модели анализируемого временного ряда и статистической оценке ее параметров.

  • [1] Понятие стационарного временного ряда тесно связано с понятием порождающего его стационарного случайного процесса (параграф 7.2).
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >