Теоретическое описание распределения остаточных напряжений в объеме металлоизделий
Теорема о разгрузке
Теоретический анализ распределения и уровней остаточных напряжений в металлоизделиях в меньшей степени направлен на количественную оценку величины напряжений, но в большей — на оптимизацию технологий с целью либо максимального их снижения, либо более благоприятного по условиям эксплуатации распределения в объеме. Теоретическое определение остаточных напряжений, вообще говоря, требует решения связанной задачи термоупругопластичности [58]. Технологические проблемы снижения уровня этих напряжений приводят к необходимости постановки и решения оптимизационных задач механики деформируемого твердого тела. Число таких задач, решенных применительно к процессам механической, термической и пластической обработки материалов, весьма невелико. Это, скорее всего, определяется сложностью построения соответствующих целевых функций, описывающих остаточные напряжения через текущие параметры процесса. Всегда можно надеяться, что использование принудительного регулируемого охлаждения и других способов управления технологическим процессом позволит существенно снизить уровень или благоприятно перераспределить внутренние напряжения в металлоизделиях после завершения всех видов обработки. Стоит учитывать, что при построении целевой функции представление уровней остаточных напряжений целесообразно через текущие, а не конечные параметры процесса, поскольку в последнем случае многократное решение связанной задачи термоупругопластичности, необходимое для нахождения оптимального режима обработки металла, требует большой загрузки вычислительных средств и удорожания вычислительной процедуры.
В большинстве постановок задач теоретического анализа остаточных напряжений за основу берется доказанная А. А. Илюшиным в работах [59, 60] теорема о напряжениях, деформациях и перемещениях, возникающих при упругой разгрузке в изотермических условиях.
Теорема о разгрузке в формулировке В. Л. Колмогорова [57] представляется следующим образом: чтобы вычислить остаточные напряжения в пластически деформированном теле после снятия нагрузки, надо к напряжениям, которые имелись в теле при пластической деформации перед разгрузкой, прибавить в алгебраическом смысле напряжения, которые были бы в теле под действием внешней нагрузки противоположного знака, но в предположении совершенно упругих свойств тела.
Из доказательства видно, что теорема применима лишь для геометрически линейных задач. Применение теоремы усложняется, если упругая разгрузка происходит не во всем объеме тела, а в некоторых его зонах, тогда как в других зонах происходит пластическое активное нагружение. В этом случае необходимые для решения силовые граничные условия на границах зон и расположение самих зон можно найти из непрерывности полей перемещений, деформаций и напряжений.
Теорема о разгрузке была обобщена В. В. Москвитиным [58, 61] с учетом того, что при разгрузке могут вновь произойти пластические деформации (вторичные пластические деформации). В работе [58] рассмотрена предложенная А. Ю. Ишлинским теория пластичности линейно-упрочняющего тела при идеальном эффекте Баушингера. В работе [61] использован принцип Мазинга, согласно которому при повторном нагружении предел упругости удваивается. Теорема доказана в предположении справедливости теории малых упругопластических деформаций.
Формулировка теоремы близка к рассмотренной выше с той лишь разницей, что напряжения , деформации е^*, перемещения и)с) ищутся для фиктивного упругопластического тела, обладающего удвоенным пределом упругости по сравнению с величиной предела упругости рассматриваемого тела. Индекс (е) указывает на упругое состояние тела. Поверхность, отделяющая области вторичных пластических деформаций и упругой разгрузки, совпадаете поверхностью, которая отделяет области упругих и пластических деформаций в фиктивном теле.
Теоремы о разгрузке в условиях неравномерного нагрева при зависимости механических характеристик материала от температуры были рассмотрены Ю. Н. Шевченко [62]. Сначала обобщена теорема об упругой разгрузке, когда материал тела не выходит вторично за предел упругости. В этом случае вводятся приведенные компоненты тензора напряжений в начале разгрузки к распределению температур в теле, при котором определяется напряженное состояние:
где — (*) символ транспонирования; С — модуль сдвига; Г—температура начала разгрузки; 7] — температура конца разгрузки.
Предполагается, что коэффициент Пуассона р не зависит от температуры. Вводятся также модифицированные объемные и поверхностные силы. После этого формулировка теоремы о разгрузке не отличается от формулировки теоремы А. А. Илюшина. Затем рассмотрен случай появления в некоторой области тела вторичных пластических деформаций. Используется теория малых упругопластических деформаций. Отличие от теоремы В. В. Москвитина заключается во введении приведенных напряжений, модифицированных объемных и поверхностных сил, а также приведенной интенсивности напряжений. Дальнейшее исследование теоремы об упругой разгрузке при зависимости механических характеристик материала от температуры описано в работе [63].
Применение указанных теорем о разгрузке к прикладным задачам вызывает ряд трудностей: 1) разгрузка начинается неодновременно в разных участках тела; 2) траектории нагружения в этих задачах лучше описываются различными вариантами теории пластического течения, чем теорией малых упругопластических деформаций, для которой доказаны теоремы о разгрузке, в случае появления вторичных пластических деформаций; 3) необходимость решения задачи термоупруго- пластичности для знания напряженного деформированного состояния в момент начала разгрузки; 4) для использования теорем нужно еще найти решение при разгрузке, что в случае вторичных пластических деформаций связано с решением краевой задачи.
4. Теоретическое описание распределения остаточных напряжений в объеме металлоизделий
Тем не менее, многие задачи расчета остаточных напряжений в заготовках после обработки давлением удается решить достаточно простым способом, используя классическую теорему о разгрузке. В частности, в работе [57] приводится решение задачи безоправочного волочения толстостенной трубы с определением распределения остаточных напряжений по толщине стенки.
В отличие от других операций деформации труб, безоправочному волочению свойственно существенное различие в напряженном состоянии внутри и снаружи: если по наружной поверхности со стороны волоки действуют сжимающие нормальные напряжения, то внутри такого воздействия на поверхность нет.
Рис. 28. Расчетная схема трубы
Предполагается, что материал трубы идеально пластичный и несжимаемый, она деформируется без удлинения, течение изотермическое и достаточно медленное. Все эти допущения лишь в некоторой степени правдоподобны, но существенно упрощают последующий анализ.
Определим напряженное состояние и поле скоростей в сечении трубы в некоторый момент времени (см. рис. 28). Пусть имеет место осесимметричное плоское течение во всем объеме и на поверхности уф=0; vz =0 и аГ(|>=0. Для решения задачи достаточно иметь следующие граничные условия: при r = rH vf = -v, при /г = 0. Внешняя поверхность типа Sv, внутренняя — Sf. Полная система дифференциальных уравнений вырождается в систему (41)
в которой первое уравнение — уравнение равновесия, второе — условие идеальной пластичности (предел текучести а, задан), третье уравнение — условие несжимаемости. Система (41) включает одномерные, зависящие только от г, искомые функции arr, aw и vr, поэтому дифференциальные уравнения обыкновенные.
После интегрирования первого уравнения, используя условие пластичности, можно записать:
Известно, что при /* = /;/.= <згг пг + аГфnv + стгг пг = 0 , а так как п =-1, яф =п„ = 0, то огг = 0. Тогда окончательно получим
и из условия пластичности
Давление или напряжение осадки трубы fr = orr| (на внешней поверхности пк = 1)
После пластической деформации в изделии возникают остаточные напряжения. Как уже отмечалось, теорема о разгрузке предполагает, что при разгрузке нс возникают вторичные деформации, и она осуществляется только упруго.
В трубе в последний момент ее пластической деформации действовали напряжения (42) и (43), внешняя нагрузка (давление) соответствовала формуле (44).
Следуя теореме о разгрузке, вычисляется поле напряжений в трубе, находящейся под воздействием внешней нагрузки обратного, чем в формуле (44), знака
но уже в предложении, что материал трубы находится в упругом состоянии. Система уравнений для упругого материала, находящегося в условиях плоского деформированного состояния, имеет вид
4. Теоретическое описание распределения остаточных напряжений в объеме металлоизделий
где ur — упругое перемещение при разгрузке; ? = + sw + — относительное изменение объема; =диг/дг ; ew =urjr ; <у = [о1Т +
Если подставить во второе и третье уравнения системы (46) значение 2С(-е/3) из четвертого уравнения, то они приобретут вид
Исключим из системы (47) переменную иг. Для этого продифференцируем последнюю формулу в выражении (47) по г, разрешив предварительно его относительно иг, и вычтем полученный результат из первого уравнения. Получим
Объединим последние два уравнения в системе (46), подставив е в четвертое уравнение, ст(1 - 2Gk) = . Если теперь учесть, что
а = (а„. + а1|)ф + aKJ/3, то из последнего уравнения получим уравнение (49)
Подставив уравнение (48) и (43), можно получить
Преобразованиями систему (46) удалось свести к двум уравнениям —уравнению (50) и первому уравнению в системе (46). Их совместное решение можно осуществить, подставив уравнение (50) в дифференциальное уравнение равновесия {-v)djdr[prT +ow)=0 .
Тогда
Учтем последний результат в дифференциальном уравнении равновесия гда^/дг + 2оп = 2А , которое после этого легко интегрируется и имеет вид
Частное решение можно выделить из общих интегралов (51) и (52) системы уравнений с помощью граничных условий: при г = ги оп = 1,15a, In(г„//•„), при г = гн огг =0. Тогда напряжения в упругоде- формируемой трубе, находящейся под воздействием внешнего напряжения fr (см. уравнение (45)), примут вид
